![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть как и ранее, ,
. Поскольку дисперсия неизвестна, будем использовать ее несмещенную оценку
.
По аналогии с разд. 2.4.3 сформируем случайную величину:
.
Плотность распределения этой случайной величины есть плотность распределения Стъюдента с n – 1 степенью свободы, которая имеет следующий вид:
.
Это одномодальная симметричная плотность распределения. При значительных объемах выборки n математическое ожидание, дисперсия и эксцесс случайной величины τ, распределенной по Стъюденту:
.
Единственный параметр плотности распределения Стъюдента – число степеней свободы.
Частный вид плотности распределения Стъюдента при n = 2 – плотность распределения Коши. При n ® ¥ плотность распределения Стъюдента стремится к нормальному распределению. Удовлетворительная близость к нормальному распределению начинается уже с n = 20.
Квантили распределения Стъюдента с числом степеней свободы n - 1: и
– границы интерквантильного промежутка, такого, что
В силу симметрии плотности распределения Стъюдента
= -
.
С учетом этого факта и выражая вероятность a через Q, решим неравенство, стоящее в скобках, относительно a:
.
Получен доверительный интервал для математического ожидания в условиях, когда вместо дисперсии применяется ее несмещенная оценка.
В этом случае также проявляется полезное свойство центральной предельной теоремы, позволяющее при значительных объемах выборки (начиная с n = 20) пользоваться полученным доверительным интервалом для оценки математического ожидания широкого класса наиболее употребительных случайных величин, плотность распределения которых отличается от нормальной.
Как и в предыдущем разделе, обращаем внимание на две тенденции поведения границ доверительного интервала.
1. С увеличением объема выборки при фиксированном значении доверительной вероятности ширина доверительного интервала уменьшается и в пределе стремится к нулю, что вполне естественно.
2. При фиксированном значении объема выборки с увеличением доверительной вероятности ширина доверительного интервала увеличивается, и в пределе при Q = 1 доверительным интервалом становится вся ось, что также вполне естественно, ибо для покрытия неизвестного значения с большой вероятностью требуется широкий интервал.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 468 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!