Дисперсия генеральной совокупности известна

Пусть выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, образованной случайной величиной , известна. Несмещенная, состоятельная и эффективная точечная оценка математического ожидания – среднее арифметическое

.

Это линейная функция выборочных значений, извлеченных из нормальной генеральной совокупности, нормальное распределение безгранично делимо, поэтому распределено нормально:

.

Вычтем из его математическое ожидание и разделим результат на его среднеквадратическое значение. Получим новую случайную величину, которая также нормально распределена:

.

Пусть – a×100-процентная квантиль, -про-центная квантиль нормального распределения. Вероятностная мера интерквантильного промежутка есть

.

Пусть Q – доверительная вероятность, , . В силу симметрии нормального распределения . Решим неравенство, стоящее в скобках, относительно математического ожидания:

.

Доверительный интервал для математического ожидания построен для случаев, когда выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности. Но поскольку вычисляется путем суммирования выборочных значений, распределенных одинаково, условия центральной предельной теоремы соблюдаются, а это значит, что уже начиная с объемов выборки n = 15 – 20, плотность распределения среднего арифметического достаточно близка к нормальной вне зависимости от вида плотности распределения генеральной совокупности, из которой извлечена выборка. Начиная с таких объемов выборки, эта интервальная оценка может быть применена без ограничений на вид плотности распределения исследуемой случайной величины.

Следует обратить пристальное внимание на две тенденции поведения границ доверительного интервала:

1. С увеличением объема выборки при фиксированном значении доверительной вероятности ширина доверительного интервала уменьшается и в пределе стремится к нулю, что вполне естественно.

2. При фиксированном значении объема выборки с увеличением доверительной вероятности ширина доверительного интервала увеличивается, и в пределе при Q = 1 доверительным интервалом становится вся ось, что также вполне естественно, ибо для покрытия неизвестного значения с большой вероятностью требуется широкий интервал.