Кейбір жиі кездесетін біртекті денелердің ауырлық центрі

1. Үшбұрыш ауданының ауырлық центрі. 1.33 суреттегі үшбұрышы ауданын қабырғасына параллель түзу сызықтармен жіңішке жолаққа бөлейік. Әр жолақтың ауырлық центрі оның ортасында болады.Олай болса үшбұрыш ауданының ауырлық центрі медианасында жатады. Қалған екі медиана үшін де дәл осындай нәтиже аламыз. Демек, біртекті үшбұрыш ауданының ауырлық центрі (С нүктесі) оның медианаларының қиылысу нүктесінде жатады екен. Олай болса:

. (1.8.15)

2. Шеңбер доғасының ауырлық центрі. Центрі О нүктесінде болатын, радиусы R, орталық бұрышы -ғатеңАВ шеңбер доғасын қарастырайық. Симметрия өсі бар болғандықтан доғаның ауырлық центрі осы өсте жатады (1.34 сурет). Ауырлық центрінің координатасын (1.8.13) өрнектерді қолданып табамыз. Ол үшін АВ доғасының бойынан орны бұрышымен

анықталатын, ұзындығы элементті бөлеміз.Бұлэлементтің х координатасы: . Енді хпен -дің мәндерін (1.8.14) өрнектерінің біріншісіне қойып, доғаның ұзындығы бойынша интеграл аламыз. Сонда:

мұндағы - АВ доғасының ұзындығы.

Нәтижесінде, шеңбер доғасының ауырлық центрі оның симметрия өсінде, О центрінен мынандай қашықтықта жататынын табамыз:

. (1.8.16)

3. Дөңгелек сектор ауданының ауырлық центрі. Радиусы R, орталық бұрышы -ғатеңОАВдөңгелек секторды қарастырайық (1.35 сурет).ОАВдөңгелек сектордың ауданын ойша О центрінен жүргізілген радиустармен секторға бөлейік. Секторлардың санын шексіз көбейткенде оларды ауырлық центрі радиусы доғаның бойында жататын жазық үшбұрыштар деп қарастыруға болады. Демек,(1.8.16) - шеңбер доғасының ауырлық центрініңөрнегін пайдаланып дөңгелек сектор ауданының ауырлық центрін анықтайтын өрнек аламыз:

. (1.8.17)

4. Конус көлемінің ауырлық центрі. Ыңғайлы болу үшін биіктігі симметрия өсі болатын дөңгелек конусты қарастырайық. Конустың шыңын координатаның бас нүктесі етіп, Oz өсін конустың симметрия өсімен бағыттаймыз (1.36 сурет). Конусты Oz өсіне перпендикуляр элементар жіңішке дискілерге бөліп, қалыңдығы dz және ауданы S_z бір дискіні қарастырайық.

Бұл диск басқа дискілер сияқты конустың табанына ұқсас. Конусты біртекті деп алып, оның z_C координатасын (1.8.12) өрнегі бойынша санаймыз:

. (1.8.18)

Қиманың сызықтық өлшемдерінің конус табанының сәйкес өлшемдеріне қатынасы олардың конус шыңына дейінгі ара қашықтықтарына пропорционал, аудандардың қатынасы ара қашықтықтар квадратына пропорционал, яғни

Егер , ал конустың көлемі екенін ескерсек мынаны аламыз:

немесе .

Бұл өрнек кез келген конустың немесе пирамиданың көлемі үшін де орын алады. Демек, біртекті конус немесе пирамида көлемінің ауырлық центрі оның табанынан табан ауданының ауырлық центрін конус немесе пирамидашыңымен қосатын түзудің бөлігінде жатады.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Параллель күштер жүйесін тең әсерлі күшке келтіру.

2. Параллель күштер центрі; оның радиус-векторы мен координаталары.

3. Қатты дененің ауырлық центрі; көлемнің, ауданның және сызықтың ауырлық центрі.

4. Ауырлық центрді анықтау әдістері.

5. Кейбір біртекті денелердің ауырлық центрі.