Оценки параметров распределения признака

Пусть требуется изучить количественный признак X генеральной совокупности. Предполагается, что из теоретических соображений известно, какой именно вид имеет распределение признака X, однако неизвестно значение некоторого параметра θ, характеризующего это распределение (например, это параметр λ в распределении Пуассона, или параметр p в биномиальном распределении). Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, т.е. значения количественного признака x₁, x₂,..., x_n полученные в результате n независимых наблюдений. Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Значения x₁, x₂,..., x_n можно рассматривать как реализации n независимых случайных величин X₁, X ₂..., X_n, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама случайная величина X.

Определение. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Определение. Оценка называется несмещенной если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть .

Определение. Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Определение. Оценка называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

для любого .

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности. Однако иногда для простоты расчетов целесообразно применять оценки, обладающие большей дисперсией по сравнению с эффективными оценками, или незначительно смещенные оценки и т.п.