Расчет цилиндрических передач на прочность

Приведенная в этом параграфе методика расчета эвольвентных зубчатых передач в основном соответствует стандарту, но содержит некоторые упрощения, которые не оказывают существенного влияния на результаты расчетов, и необходимы с точки зрения учебного процесса.

Расчет зубьев на контактную усталость. Контакт двух зубьев ци­линдрических зубчатых колес рассматривается как контакт по образующим двух цилиндров и, следовательно, является линейным контактом. Наибольшие контактные напряжения (рис. 7.23) возникают при сопри­косновении зубьев в полюсе (в зоне однопарного зацепления прямозубых передач).

Максимальные контактные напряжения при линейном контакте определяются по известной нам из гл. 5 формуле Герца, которая для стальных колес с коэффициентом Пуассона ν = 0,3 будет иметь вид

Рисунок 7.23 - Наибольшие контактные напряжения при сопри­косновении зубьев в полюсе

где q - нормальная нагрузка на единицу длины контактных линий (для прямозубых передач длина контактной линии равна рабочей ширине венца); E_пр — приведенный модуль упругости материалов; ρ_пр — приведенный радиус кривизны зубьев.

Из свойств эвольвенты мы знаем, что центры ее кривизны лежат на основной окружности (см. рис. 7.3 и 7.4), следовательно, для пары зубьев (рис.В 7.24) радиусы кривизны зубьев в точке касания будут

ρ₁ = 0,5d₁sinα

ρ₂ = 0,5d₂sinα

Если колеса косозубые, то радиусы кривизны зубьев определяются по размерам эквивалентных колес, следовательно

ρ₁ = 0,5d₁sinα/cos² β,

ρ₂ = 0,5d₂sinα /cos²β.

Тогда, учитывая, что d₂ = d₁u, где и — передаточное число, получим

1/ ρ_пр = 1/ρ₁+ 1/ ρ₂ = 2cos² β/(d₁sinα) + 2cos² β/(d1 и sinα) = 2(и + 1)cos² β/(d₁ и sinα)

Нормальная нагрузка q на единицу длины контактных линий для косозубых колес с учетом неравномерности и динамичности нагрузки равна q=F _п K_HβK_Hυ/l_Σ = w_Ht/(ε_αcosα) (так как сила нормального давления Fn = Ft/(cosαcosβ), суммарная длина контактных линий l_Σ = ε_αb/cosβ), а

w_Ht = F _t K_HβK_Hυ/b

Подставляя полученные выражения 1/ ρ_пр и q в формулу Герца и за­меняя произведение sinαcosα на 0,5 sin 2α, получим

Введем обозначение —коэффици­ент, учитывающий геометрию передачи, свойства материала и коэффициент торцового перекрытия. В результате по условию нагрузочной способности σ_Н < σ_Н получаем формулу для проверочного расчета на контактную усталость активных поверхностей зубьев стальных цилиндрических колес:

где [σ_Н] — допускаемое контактное напряжение; Z≈ 462•10³ Па^1/2 для прямозубых передач; Z ≈ 376 • 10³ Па^1/2 для косозубых и шевронных передач.

Так как w_Ht = F _t K_HβK_Hυ/b = 2 Т ₁ K_HβK_Hυ/(bd₁), то окончательно имеем

При выводе формулы для проектного расчета необходимо умень­шить количество неизвестных величин, что достигается введением коэффициента ширины венца относительно диаметра ψ_bd = b₂/d₁. Тогда

Приравняв контактное напряжение σ_Н допускаемому [σ_Н] учитывая, что T₁ = Т₂/ и получим формулу для проектного расчета:

где

При проектном расчете можно определять межосевое расстояние а, для чего вводится коэффициент ширины колеса по межосевому расстоянию ψ_ba = b/а и учитывается, что d₁ = 2а/(и +1). После преобразования получим формулу

где

Для предварительных расчетов прямозубых передач принимают

К_Hβ ≈ 1,3, K_d = 7700 Па^1/3, К_а = 4950 Па^1/3.

Нагрузочная способность косозубых и шевронных колес выше, чем прямозубых, поэтому для них рекомендуются следующие значения коэффициентов:

К_Hβ ≈ 1,2, K_d = 6750 Па^1/3, К_а = 4300 Па^1/3.

Значения ψ_bd выбираются по табл. 7.4, после чего ψ_bа определяется по формуле

ψ_bа = 2 ψ_bd/(и +1)

Большие значения — для постоянных нагрузок и жестких конструкций опор и валов.

После определения межосевого расстояния а из эмпирических соот­ношений определяют модуль и округляют его значение до стандартного.

При твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса Н₁ и Н₂ ≤ 350 НВ принимают т = (0,01...0,02)а, при твердости зубьев шестерни Н₁ > 45 HRC_э и колеса Н₂ ≤ 350 НВ принимают т = (0,0125...0,025)а, при твердости зубьев шестерни и колеса Н₁ и Н₂ ≥ 45 HRC_э принимают и = (0,016..Д0315).

Для обеспечения равной контактной и изгибной прочности зубьев ориентировочное значение модуля при заданном межосевом расстоянии можно вычислить по формуле

где К _та — вспомогательный коэффициент (для прямозубых передач К _та = 1,4; для косозубых при ε _β ≤ 1 К _та =1,1; для косозубых при ε _β > 1 и шеврон­ных передач К _та = 0,85); Y_F1 — коэффициент формы зуба шестерни, опреде­ляемый по табл. 7.7; [σ_F1] — допускаемое напряжение изгиба для шестерни.

Основные параметры (межосевые расстояния а, номинальные передаточные числа и, коэффициенты ширины колес ψ_bа) цилиндрических передач для редукторов регламентированы ГОСТом (см. табл.7.5 и 7.6).

Таблица 7.5

Таблица 7.6

Стандартные значения ψ_bа: 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,25; 0,315; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1,0; 1,25.

Учитывая возможное осевое смещение зубчатых колес при сборке передачи, ширину венца шестерни принимают на несколько миллиметров большей, чем ширину венца колеса.

Расчет зубьев на усталость при изгибе. С точки зрения прочности зубьев на изгиб наиболее опасен момент, когда зуб входит в зацепление или выходит из него, а сила нормального давления приложена к вершине зуба (рис. 7.25). При расчетах на изгиб зуб рассматривается как консольная балка, жестко защемленная одним концом, для которой справедлива гипотеза плоских сечений. Кроме того, полагаем, что вся нагрузка F _п воспринимается только одним зубом, и пренебрегаем силами трения, что дает возможность считать силу F _п направленной по общей нормали к профилям соприкасающихся зубьев. Так как зуб своей вершиной входит в зацепление не на межосевой линии, то угол, который составляет линия давления с перпендикуляром к оси симметрии зуба, будет немного больше угла зацепления, но этой разни­цей пренебрегаем и полагаем, что α' = α.

Перенесем силу F_n на ось симметрии зуба и разложим ее на две вза­имно перпендикулярные составляющие F_t´ и F_r´ одна из которых будет изгибать зуб, а вторая — сжимать. На рис. 7.25 показаны эпюры напря­жений изгиба и сжатия.

Из практики известно, что усталостные трещины (рис. 7.20, а) возни­кают у основания зуба в зоне растянутых волокон. Это происходит пото­му, что основание зуба является местом, где возникают наибольшие на­пряжения изгиба и концентрация напряжений; последнее будем учиты­вать, вводя в расчеты теоретический коэффициент концентрации напря­жений К_Т.

Напряжениями сжатия (сравнительно небольшими) будем пренебрегать, так как на растянутой стороне зуба (где возникают усталостные трещины) суммарные напряжения равны разности напряжений изгиба и сжатия, следовательно, расчет только по напряжениям изгиба даст некоторое увеличение запаса прочности.

Напряжения изгиба σ_F в опасном сечении 1— 1 зуба прямозубого ко4 леса вычисляются по формуле

σ_F = М_и/W = 6 F_t´ l/(bs²)

Заменим силу F_t´ окружной силой F_t = 2T/d (такая замена даст в расчетах отклонение в сторону увеличения запаса прочности, так как F_t> F_t´ и введем в расчет теоретический коэффициент концентрации напряжений Кт, коэффициент неравномерности нагрузки К_Fβ и коэффициент динамичности нагрузки K_Ft тогда условие прочности прямого зуба на изгиб будет иметь вид

где [σ_F] — допускаемое напряжение на изгиб.

Размеры l и s выразим через модуль зуба, от которого они зависят: l = μ т, s = λ m, тогда l /s² = μ/(λ²/ m). Подставив это выражение в пре­дыдущую формулу и заменив Y_F = 6K_Tμ/λ2, w_Ft = F_tK_FβK_Fυ/b, получим формулу для проверочного расчета прямозубых колес

σ_F = Y_Fw_Ft/m < [σ_F],

где Y_F — коэффициент формы зуба, зависящий только от числа зубьев и выбираемый по табл. 7.7; параметр w_Ft = 2T₁K_FβK_Fυ/{d₁b).

Таблица 7.7

Коэффициенты формы зуба

z, zv								более
YF	4,26	4,09	3,90	3,80	3,70	3,66	3,62	3,60

У косозубых колес длина зуба больше, чем у прямозубых, поэтому расчетную формулу вводится коэффициент Y_β, учитывающий наклон линии зуба, причем

Y_β = 1 – β/140°

либо более точно (по новому ГОСТу), I

где β — угол наклона; ε _β — коэффициент осевого перекрытия. Формула для проверочного расчета косозубых колес имеет вид

σ_F = Y_F Y_β w_Ft /mn ≤ [σ_F]

причем коэффициент формы зуба Y_F подбирается по табл. 7.7 по эквива­лентному числу зубьев z_υ; m_n — нормальный модуль.

Основным видом проектного расчета закрытых передач с низкой и средней твердостью зубьев является расчет на контактную усталость активных поверхностей зубьев, а расчет на усталость зубьев при изгибе применяется как проверочный.

Параметры открытых передач, а также закрытых с высокой твердостъю активных поверхностей зубьев (Н > 50 HRC_э, их нагрузочная способность лимитируется изгибной прочностью) определяют из расчета зубьев на изгиб, причем основным расчетным параметром является нормальный модуль. Формула для проектного расчета на изгиб имеет вид

где К _т = 1,4 для прямозубых; К _т = 1,12 для косозубых (при ε _β > 1) и шеврон­ных передач; для косозубых при ε _β ≤ 1 К _т = 1,25 (расчет ведется для шестерни).

Для обеспечения одинаковой долговечности ведущего и ведомого колес шестерню делают из более прочного материала, но прочность зуба также зависит от его формы. Поэтому сравнительную оценку прочности зубьев при изгибе можно провести по отношению [σ_F]/Y_F для ведущего и ведомого колес, а проверочные расчеты ведут по колесу, для которого это отношение меньше.

При проектном расчете на изгиб задаются числом зубьев шестерни z₁ (для открытых передач z₁ = 17...22) и коэффициентом ширины колеса ψ_bd (для открытых передач ψ_bd = (10...12)/ z₁,); коэффициент K_Fβ определяют по графику на рис. 7.23.