Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Поведение эффективного объема, характеризующего степень хаотичности состояния, при обратимых и необратимых процессах



Феноменологическая термодинамика предсказывает возрастание энтропии, как при изотермическом расширении, так и при возрастании температуры системы без увеличения ее объема, и неизменность энтропии (ее сохранение) при адиабатных процессах. Объяснение этих закономерностей должно быть дано не только с макроскопически-описательной, феноменологической (через формулу Клаузиуса dS = dQ/Т), но и с микроскопической точки зрения.

Напомним, что хаотичность состояния термодинамической системы связана с дисперсией микроскопических характеристик, определяющих состояние, то есть с дисперсией координат и импульсов частиц, образующих термодинамическую систему. Проекции координат и импульсов частиц термодинамической системы рассматриваются как случайные физические величины, и к ним применимы статистические методы вычислений (методы теории вероятностей).

Рассмотрим идеальный газ, каждая молекула которого имеет i степеней свободы. В фазовом пространстве 2i измерений, из которых i измерений отображают собственно координаты молекул, а остальные i - проекции их импульсов, состояние каждой молекулы изображается точкой, имеющей соответствующие проекции на координатные и импульсные оси. Состояние всего газа отображается в таком пространстве роем (множеством) движущихся в фазовом пространстве точек. В условиях теплового равновесия функция распределения плотности этих точек не изменяется с течением времени, хотя точки непрерывно перемещаются в фазовом пространстве, отображая движение (и столкновение) молекул газа. Сама функция распределения плотности дает фазовый портрет термодинамической системы в фазовом пространстве.

За эффективный объем, характеризующий «размытость» фазового портрета термодинамической системы в фазовом пространстве 2i измерений, мы будем принимать произведение стандартов проекций на координатные оси. (Стандарт - корень квадратный из дисперсии, равной, как известно, квадрату среднеквадратичного отклонения случайной величины от ее среднего значения). Здесь в роли случайных величин выступают проекции координат и импульсов отдельных частиц термодинамической системы.

Таким образом, эффективный объем в фазовом пространстве, связанный с хаотичностью состояния всей термодинамической системы, определяется произведением

DW = Õ(Dqi*Dpi),

где через Dqi и Dpi обозначены стандарты проекций координат и импульсов отдельных частиц на оси координат фазового пространства.

Например, для равновесного состояния идеального газа при температуре Т эффективный объем DW = Const*VTi/2 (при числе степеней свободы молекулы газа - i), поскольку стандарт, относящийся к любой из пространственных координатных осей, пропорционален размеру вдоль этой оси сосуда с газом, и, следовательно, произведение этих стандартов пропорционально объему сосуда. Для максвелловского распределения молекул по компонентам скорости (и соответственно, по компонентам импульсов) стандарты распределения (корень квадратный из дисперсии) пропорциональны Т1/2, так как это распределение гауссово.

Степень хаотичности состояния термодинамической системы естественно определять через величину эффективного объема. Степень хаотичности увеличивается, если эффективный фазовый объем растет, что и происходит при расширении газа в пространстве (увеличение обычного объема), равно как и при повышении температуры, которое ведет к «расплыванию» максвелловской функции распределения молекул газа по компонентам скорости (и соответственно, импульса). Эта функция имеет вид распределения Гаусса, где температура Т стоит в знаменателе отрицательного показателя экспоненты. Дисперсия гауссова распределения, как известно, пропорциональна знаменателю показателя экспоненты и, следовательно, температуре Т.

В природе существуют адиабатные процессы, происходящие без теплообмена термодинамической системы с окружающими телами. При таких процессах энтропия должна сохраняться согласно дифференциальному определению энтропии Клаузиусом dS = dQ/Т = 0, то есть S = Const. В адиабатных процессах, как известно (см. (3.8)), увеличение объема газа сопровождается понижением температуры, и наоборот, уменьшение объема ведет к увеличению температуры системы.

В фазовом пространстве адиабатные процессы должны отображаться такой трансформацией эффективного фазового объема (характеризующего хаотичность состояния), при которой увеличение дисперсии проекций координат должно полностью компенсироваться уменьшением дисперсии проекций импульсов с тем, чтобы эффективный объем при этом сохранялся. Понятно, что это следствие адиабатного процесса, проявляющееся на микроскопическом уровне (сохранение эффективного объема фазового портрета), должно быть связано с уравнением адиабаты, известным из феноменологической, макроскопически-описательной термодинамики.

Для демонстрации выполнения этого условия (сохранение эффективного объема у частиц при обратимых изоэнтропных процессах) воспользуемся, как обычно, моделью идеального газа. Уравнение адиабаты для идеального газа в координатах температура-объем (T,V), как известно, имеет вид TVg-1 = Const. В этом уравнении показатель адиабаты g, входящий в показатель степени объема, имеет, как известно, смысл отношения теплоемкостей газа в изобарном (Ср) и изохорном (СV) процессах, и может быть выражен через число степеней свободы отдельной молекулы идеального газа как g = (i +2)/i, поскольку Ср = (i +2)R/2 и СV = iR/2. Поскольку g-1 = 2/i, то уравнение адиабаты, выраженное через число степеней свободы молекулы, принимает вид TV2/i = Const. Возведя обе стороны этого равенства в степень i/2, получаем окончательно выражение для адиабаты в необходимой для дальнейшего форме

i/2 = Const.

Так как эффективный объем, характеризующий размытость фазового портрета идеального газа DW = Const*VTi/2, то для адиабатного обратимого (и поэтому изоэнтропного) процесса идеального газа получаем

DW = Const,

то есть постоянство эффективного объема в обратимых адиабатных процессах, что и требовалось показать.

Для цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат, это означает, что возрастание эффективного фазового объема при получении рабочим телом (идеальным газом) тепла от нагревателя должно равняться уменьшению эффективного объема при передаче тепла холодильнику. Покажем, что это действительно так.

Прирост эффективного фазового объема при изотермическом (Т = Тн) расширении газа dWн = dVнн, где dVн – увеличение объема при расширении, Dрн – произведение стандартов проекций импульсов, сохраняющихся в этом процессе и пропорциональных корню квадратному из температуры. Таким образом, прирост эффективного фазового объема при изотермическом расширении

dWн = Const*(Vн2 - Vн1нi/2.= Const*Vн1(Vн2/Vн1 -1)Тнi/2.

Аналогично для изотермического сжатия

dWх = -Const*(Vх3 - Vх4хi/2 = -Const* Vх4(Vх3/Vх4- 1)Тхi/2,

где знак минус означает уменьшение объема.

Осталось убедиться, что по модулю изменения объемов равны, так как газ должен вернуться в первоначальное состояние. Для этого вспомним полученное при рассмотрении цикла Карно соотношение Vн2/Vн1 = Vх3/Vх4 а также выражение для адиабаты через число степеней свободы молекулы газа VТi/2 = Const. Поскольку 1-я и 4-я точки на диаграмме цикла Карно в координатах давление-объем связаны адиабатой, то Vн1Тнi/2 = Vх4Тхi/2. Если учесть эти уравнения, то очевидно равенство (по модулю) изменений эффективных фазовых объемов в цикле Карно, то есть dWн = - dWх, что и требовалось показать. Таким образом, рабочее тело (идеальный газ) при завершении цикла Карно возвращается к первоначальному эффективному фазовому объему, характеризующему хаотичность состояния.

Обратимся к рассмотрению поведения эффективного объема при самопроизвольном выравнивании температур, вследствие теплообмена через теплопроводящую перегородку, двух идентичных количеств газа, отличающихся только температурами, причем Т1 > Т2. Мы знаем из термодинамики, что этот процесс необратим и энтропия должна возрасти.

Энтропия, как аддитивная величина, для первоначального (с разными температурами) состояния находится как сумма энтропий этих газов S(1) = S1(1) + S2(1) = Const{SDqi1Dpi1 + SDqi2Dpi2}= Const{SDqi [Dpi1(1)+ Dpi2(1)]},

так как объемы газов одинаковые и одинаков разброс по координатам.

После замены теплоизолирующей перегородки теплопроводящей и выравнивания температур до средней температуры q = (Т12)/2, новое значение энтропии, вычисленное через эффективные объемы, будет

S(2) = S1(2) + S2(2) = Const{SDqi [Dpi1(2)+ Dpi2(2)]}= Const{SDqi [2Dpi1(2)]},

так как после выравнивания температур разброс импульсов у молекул теперь одинаков.

___ П о свойству дисперсии гауссова ра сп ре де ления легко видеть, что Dpi = ÖmkT и, следовательно, S(1)=ConstSDpi(ÖT1+ÖT2) и S(2) =ConstSDpi [Ö2(T1+T2)]. Отсюда легко находится отношение начального значения энтропии к её конечному _ _______

S(1)/ S(2) = (ÖT1+ÖT2)/Ö2(T1+T2)

Для утверждения, что эффективный объем возрастает после выравнивания температур, осталось показать, что правая часть равенства меньше единицы. Для этого возводим правую часть в квадрат, делим числитель на знаменатель и получаем в ы ра ж ение

½ [1 + (ÖT1ÖT2)/{(T1+T2)/2}],

где в числителе дроби оказалось среднее геометрическое, а в знаменателе - среднее арифметическое первоначальных температур, но первое, как известно, всегда меньше второго. Следовательно, правая часть уравнения для отношения энтропий меньше единицы, и значит S(1) < S(2). Тем самым показано, что эффективный объем ведет себя при необратимых процессах выравнивания температур так же, как и энтропия, то есть возрастает, как и должно быть, если этот объём является наглядным отображением энтропии в фазовом пространстве.

Как видно из всех рассмотренных примеров, эффективный объем ведет себя как в обратимых, так и в необратимых процессах так, что вычисленный через него статистический вес и, соответственно, энтропия ведут себя согласно предсказаниям термодинамики. Чем больше эффективный объем у каждой частицы, тем больше статистический вес термодинамической системы в целом, и тем больше (через логарифм) энтропия. Сообщая термодинамической системе теплоту, мы тем самым увеличиваем степень хаотичности ее состояния, «раздуваем» эффективный объем каждой частицы, увеличиваем статистический вес системы и наращиваем энтропию. Из вышеизложенного следует, что статистическому весу, и тем самым энтропии, может быть сопоставлен наглядный образ – эффективный объем в фазовом пространстве.

Рекомендуемая литература

1. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. - М.: ГИТТЛ, 1952. 200с.

2. Тер Хаар Д., Вергелянд Г. Элементарная термодинамика. - М.: Мир,1968. 220с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. Термодинамика и молекулярная физика. - М.: Наука, 1975. 552с.





Дата публикования: 2014-10-29; Прочитано: 755 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.011 с)...