В призматическом русле

При выводе основного уравнения гидравлического прыжка предполагаем, что прыжок происходит в вертикальной плоскости и движение плоское.

В качестве исходного применяем уравнение сохранения количества движения, это освобождает от необходимости учитывать потери механической энергии в области прыжка. По смыслу уравнения сохранения количества движения все силы, возникающие в отсеке жидкости внутри выделенной контрольной поверхности, принадлежат к силам внутренним и в уравнение не входят.

В прыжке возрастает глубина потока от значения h₁ < h_kр до значения h₂ > h_kр и соответственно площадь живого сечения от S₁ до S₂ (S₂ > S₁). Скорость течения, наоборот, уменьшается, т.е. V₁ > V₂; при этом, конечно

V₁ S₁ = V₂ S₂ = const = Q.

Cоставим уравнение сохранения количества движения массы жидкости, заключенной в объёме потока между сечением 1 с глубиной h₁ и сечением 2 с глубиной h₂, рис. 7.3; дно потока будем считать горизонтальным. Приращение количества движения этой массы за единицу времени (в проекции на горизонтальную ось) равно

(7.1)

где и - коэффициенты количества движения.

Внешними силами, вызывающими изменение количества движения являются: силы давления в сечениях 1 и 2 – F₁ и F₂, силы трения F_тр на внешней границе отсека и вес жидкости, заключенной в выделенном отсеке. В случае горизонтального дна проекция веса на направление движения равна нулю.

Примем следующие допущения:

1.Движение жидкости в сечениях 1 и 2 плавноизменяющееся, поэтому распределение давления в этих сечениях подчиняется гидростатическому закону;

2.Сила трения на границах отсека считается малой по сравнению с другими внешними силами, и ее не учитываем;

3.Коэффициенты количества движения в обоих сечениях принимаются одинаковыми, т.е. = = .

Тогда уравнение сохранения количества движения принимает вид

(7.2)

Исходя из гидростатического закона распределения давления в сечениях 1 и 2 получим

и

(7.3)

где h_1.ц.т. и h_2.ц.т – глубины погружения центров тяжести сечений 1 и 2, глубины в которых равны соответственно h₁ и h₂.

Имея в виду (7.3) зависимость (7.2) преобразуется к виду

(7.4)

Учитывая, что и

Левая часть (7.4) преобразуется к виду

(7.5)

Уравнение (7.4) преобразуется к виду (после учёта (7.5) и деления левой и правой частей на )

(7.6)

Группируя слагаемые, относящиеся к первому и второму сечениям в левой и правой частях соответственно, получим окончательный результат

(7.7)

Это и есть основное уравнение гидравлического прыжка.

Так как S и h_ц.т. являются функциями глубины S=f(h) и , а остальные величины постоянны, можно записать

(7.8)

(7.9)

Функцию называют прыжковой функцией, и тогда уравнение (7.7) можно записать в кратной форме