Учимся решать задачи 3 страница

кового товара? несколько килограммов? литров? метров? Как в этом случае узнавали, сколько платить?»

Обучение решению таких задач происходит в процессе формиро­вания представлений о величинах и должно начинаться с актуали­зации интуитивных представлений о них и соответствующего субъ­ектного опыта. Такие представления формируются еще до школы. Ко времени изучения в школе их запас у детей достаточно богат. Базовые задачи появляются в содержании учебной работы по изуче­нию величин, входящих в эти задачи, после изучения вопросов из­мерения и единиц величин.

Второй этап. Накопив опыт решения по предметной или услов­но-предметной (рисунок) модели с записью арифметического дей­ствия, учащиеся постепенно отказываются от реальных действий с предметами и рисунков, представляя соответствующие действия с предметами мысленно. На основе этого представления записывают или называют арифметическое действие, выполняют его, иногда еще прибегая к предметным действиям, а затем уже пользуясь вычисли­тельным алгоритмам, основанным на свойствах натурального ряда чисел или свойствах арифметических действий. Второй этап освое­ния способа решения задач с тройками взаимосвязанных величин отличается от первого тем, что учащиеся обходятся без графических моделей, а рассуждения становятся свернутыми.

Третий этап. В этот период мысленная предметная модель, об­раз ситуации постепенно заменяется словесно-логической моделью задачи, определенный тип которой соответствует определенному арифметическому действию с числами или значениями величин. Ба­зовые задачи входят в состав других задач, рассматриваемых на уроках и во внеурочной работе по математике. Возможно введение формул.

Примеры схем возможных рассуждений учащихся при решении базовых задач в этот период: «В задаче говорится, что «… столько (число) и столько (число), и нужно узнать, сколько всего (на сколько одно больше (меньше) другого; во сколько раз одно больше (меньше) другого)». Ответ на вопрос такой задачи находится сложением (вычи­танием; делением)»; «Известна средняя скорость и длина пути. Время находят, разделив длину пути на скорость»; «Это задача на зависимость между ценой (Ц), количеством (К) товара и общей стоимостью (С) покупки: Ц · К = С. В задаче известна стоимость и цена …. Требуется найти количество …. Находим его, разделив стоимость на цену».

Для перехода от одного этапа к другому разным учащимся нуж­но разное время и его нужно предоставить каждому учащемуся. Для этого необходимо ориентировать работу с задачей в каждый из пе­риодов не на получение ответа, а на способ его получения, на овла­дение способами сохранения и передачи информации, имеющейся в задаче и получаемой в результате моделирования и выполнения арифметических действий. Тогда за отведенное для работы с зада­чей время разные учащиеся смогут выполнять разный объем работы

и по-разному. Одни смогут решить задачу, найдя ответ на ее вопрос с помощью рисунка, другие решат задачу с рисунком, но двумя-тремя способами, третьи — это без рисунка несколькими способами, чет­вертые — найдут разные формы представления содержания задачи, разные способы решения, форму представления разных способов решения, составят задачи, подобные данной по содержанию, спо­собу решения, арифметическому действию или последовательности действий в арифметическом решении задачи и т. п.

Четвертый этап. Доведение умения решать базовые задачи до устойчивого навыка, формирование умения выделять базовые за­дачи из других задач. На этом этапе полезны блиц-решения базовых задач, составление базовых задач с разными сюжетами, констру­ирование задач из двух-трех базовых задач разных видов, одного и того же вида, выполнение специальных заданий на выделение ба­зовых задач в текстах сложных задач (в том числе базовых задач с недостающими данными), решение задач, включающих несколько базовых задач. В последнем случае решение базовой задачи является операцией в способе решения сложных задач разных видов. Во всех видах работы с задачей необходимо ориентировать учащихся на до­стижение личностных, метапредметных и предметных результатов.

Среди видов текстовых задач, умение решать которые может быть сформировано в начальной школе наряду с общим умением и умени­ем решать базовые задачи, можно назвать задачи с пропорциональ­ной зависимостью величин: на нахождение четвертого пропорцио­нального («Автобус едет из города в поселок 4 ч со скоростью 40 км/ч. Сколько времени затратит на тот же путь легковой автомобиль, если его скорость 80 км/ч?»); на пропорциональное деление («На 200 р. купили по одинаковой цене 4 тетради в клетку и 6 тетрадей в линейку. Сколько стоили тетради в клетку?»); на нахождение числа по двум разностям («За 10 книг заплатили на 200 р. больше, чем за 8 таких же книг. Сколько стоила одна книга? Сколько стоят 10 книг?»).

Особое место в обучении математике занимают текстовые за­дачи с понятием «скорость»: задачи на движение одного тела, на движение двух тел в одном и том же и в противоположных направлениях и задачи на работу (скорость работы — производи­тельность труда) одного работника или нескольких. Обучение ре­шению таких задач должно включать: • раскрытие смысла понятия «скорость» и решение базовых задач на основе этого смысла и соот­ветствующей зависимости значений скорости, времени и длины пути или объема работы: • выявление общих характеристик таких задач, общих и особенных приемов, «работающих» при решении задач «на движение» и «на работу», которые могут быть компонентами уме­ния решать такие задачи; • овладение компонентами умения решать такие задачи в ходе выполнения разнообразных видов работы с за­дачами; • накопление опыта решения, совершенствование умения.

5.3. Методы и способы решения текстовых задач в начальном обучении математике

5.3.1. понятия «методы решения задач» и «способы решения задач»

Роль решения и обучения решению задач разными методами и способами в математическом и общем развитии младших школь­ников чрезвычайно велика, так как способствует формированию по­зитивного взгляда на мир, веры в свои силы, способности находить выход из трудных ситуаций решения, гибкости мышления, толерант­ности и много других позитивных качеств.

Понятия «методы решения задач» и «способы решения задач» позволяют классифицировать процессы решения задач. Назовем различия в процессах решения задач различиями в методах реше­ния задач, если они обусловлены различиями разделов знания, со­ставляющих теоретический базис решения и выступающих в роли средств решения.

По этому основанию в методике обучения математике выделяют следующие методы: практический (метод предметных действий), арифметический, алгебраический (с помощью уравнений и не­равенств), геометрический, табличный, графический (от слова «график»), логический, физический (от слова «физика») или метод введений удобных единиц величин. Основным в начальном обучении математике является арифметический метод.

Выделяют также методы решения, которые основаны на более частных идеях, например метод частей (см.: Стойлова Л. П. Ма­тематика. — М., 2012. — С. 200 — 205), метод приведения к единице, метод уравнивания и др.

Различия в средствах решения, методы решения, вызывают раз­личия в содержании, назначении и способах осуществления этапов решения, в психологических установках и состояниях решающего.

Практический метод. Это решение задачи с помощью действий с предметами, их заменителями (кружочками, счетными палочка­ми и т.п.), с помощью рисунка. Как основной метод применяется в начальные период ознакомления с арифметическими действиями. В дальнейшем используется только предметная и условно-предметная (рисунок) вспомогательная модель в решениях другими методами.

Арифметический метод. Арифметическим называют решение, при котором ответ на вопрос задачи находится с помощью по­следовательного выполнения арифметических действий с чис­ловыми данными задачи и результатами предыдущих действий. В арифметическом решении текстовой задачи решающий во время всего процесса решения должен находиться «внутри» задачи, дер­жать в уме ее содержание, требование, выполнять этапы решения

на естественном языке и языке арифметических действий, ориенти­руясь на требование задачи и содержательные смыслы чисел. Если задача содержит много данных, сделать это бывает трудно и «мозго­вой компьютер» решающего «зависает». Это означает, что процесс арифметического решения может создавать условия для психологи­ческого дискомфорта.

Алгебраический метод. Алгебраическим называют решение за­дачи с помощью уравнений, неравенств, систем уравнений и не­равенств (в начальной школе — только с помощью уравнений). Алгебраическое решение требует рассуждений иного характера, чем арифметическое. Процесс алгебраического решения состоит: а) из восприятия и осмысления задачи; б) составления уравнения; в) решения уравнения; г) интерпретации корней уравнения, форму­лировки ответа на вопрос задачи.

Составление уравнения: • обозначение переменной искомого и замена вопроса задачи ответом на не. о; • последовательный пере­вод полученного текста с естественного языка на язык числовых и буквенных выражений; • поиск двух различных выражений, пред­ставляющих одну и ту же или численно равную информацию, запись этих выражений со знаком «=» между ними — запись уравнения.

Деятельность решающего при составлении уравнения — это дея­тельность переводчика, не слишком озабоченного требованием за­дачи: обозначив искомое буквой, мы превращаем требование в со­общение об искомом, о выполненном требовании. После записи уравнения забываем о задаче, решая уравнение. И только найдя корень уравнения нужно вернуться к задаче, чтобы интерпретиро­вать его в соответствии с содержанием задачи. Такая смена харак­тера деятельности делает алгебраическое решение психологически комфортным.

Задача. У Лены было несколько значков. Когда Лена подарила 3 значка друзьям, у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?

Решение. • Положим: у Лены было х значков. Введем эту информа­цию в задачу: «У Лены было х значков. Когда Лена подарила 3 знач­ка друзьям, у нее осталось 4 значка.» • Переведем полученный текст на язык математических выражений: х — значков было у Лены, 3 — столько значков она отдала, х - 3 — значков осталось, 4 — значков осталось. • х - 3 = 4. • Решим уравнение (например, подбором):

х - 3 = 4, х = 7, так как 7 - 3 = 4. Ответ: у Лены было 7 значков.

Геометрический метод. Геометрическое решение — это решение, основная часть которого осуществляется с помощью геометрических фигур и их свойств, а ответ на вопрос задачи находится с помощью прямого или косвенного измерения. Геометрическое решение состо­ит: • из восприятия и осмысления задачи; • построения геометри­ческой модели — перевод задачи на геометрический язык; • реше -

ния задачи на языке геометрии; • перевод геометрического решения на язык задачи.

Построение геометрической модели включает в себя следующие действия: • определить информацию из задачи, которую полезно представить с помощью геометрических фигур; выбрать вид фигур; • выбрать, что изображать в первую очередь; • определить, как рас­положить эту фигуру, какие ее размеры будут отражать содержание задачи; • начертить фигуру, обозначить, если это необходимо, инфор­мацию, выраженную построенной фигурой, на чертеже; • вернуться ко второму шагу и выполнить его и остальные для следующей части задачи. Продолжать, пока все содержание задачи не будет отражено в геометрической модели (на чертеже), включая требование; • про­верить построенную геометрическую модель (чертеж) на полноту соответствия задаче.

Решение на геометрической модели. Элемент чертежа, моде­лирующий искомое, измеряют в подходящих единицах и переводят на язык задачи или вычисляют, опираясь на геометрические зависи­мости. Так, для задачи «Одна бригада может заасфальтировать 15 км дороги за 30 дней, а другая — за 60 дней. За сколько дней заасфаль­тируют эту дорогу две бригады, работая вместе?» на клетчатой бумаге легко строится геометрическая модель, состоящая из трех отрезков в 30 клеток длиной, моделирующих 15 км дороги. Первый отрезок поделим на 30 равных частей (по 1 клетке), второй — на 60 (по пол­клетки). Полторы клетки — модель производительности совместной работы бригад. Измерив третий отрезок этой меркой, получим 20 (дней). Геометрическое решение задает и опирается на «величин­ные» смыслы числа.

Графический метод. Близок к геометрическому — решение на графике. Чтение и построение графиков — важная составляющая умения преобразовывать, хранить и считывать информацию. Этот метод можно было бы также назвать координатным, так как понятие координат лежит в основе построения графика. Первые представле­ния о координатном методе дети получают в дошкольных образова­тельных учреждениях, где формирование умения ориентироваться на плоскости листа включает умение находить точки по числовым характеристикам («графические диктанты»). Первая система коорди­нат — числовой луч, с помощью которого дети первого класса могут выполнять сложение и вычитание. Графики можно использовать для решения задач с пропорциональными величинами.

Табличный метод. Это метод решения, при котором ответ на вопрос задачи находится средствами таблицы на основе ее  свойств. Главными действиями в таком решении являются постро­ение и заполнение таблицы — перевод текста задачи в табличный формат: • определение информации, которая должна быть представ­лена в табличном виде; • определение количества необходимых строк и столбцов и вида информации в строках и столбцах; • конструиро-

вание знаков и способов занесения информации в таблицу; • по­строение таблицы; • выявление свойств таблицы, выделение ячейки с искомым; • заполнение таблицы — занесение в нее информации из текста задачи и информации, полученной на основе свойств та­блицы; • прочтение информации, дающей ответ на вопрос задачи.

Задача. Алеша, Женя и Миша имеют фамилии Орлов, Соколов, Ястребов. Какую фамилию имеет каждый мальчик, если Женя, Миша и Соколов занимаются борьбой, а Миша и Ястребов — музыкой?

Имена Фамилии	Алеша	Женя	Миша
Орлов	-	-	+
Соколов	+	-	-
Ястребов	-	+	-

Решение. В таблице будет 3 строки — фамилии, и 3 столбца — име­на. Соответствие обозначим знаком «+», несоответствие «-». Свойство таблицы: в каждой строке и столбце должен быть один «+» и два «-». Построим и заполним таблицу (табл. 5.6). Из утверждения «Женя, Миша и Соколов занимаются борьбой» следует, что Женя и Миша не носят фа­милию Соколов. Ставим «-» в соответствующие ячейки. Из утверждения «Миша и Ястребов занимаются музыкой» следует, что Миша не Ястре­бов. Ставим «-». Информация из текста задачи занесена в три ^Таблица 5.6 ячейки (выделены). В оставшиеся ячейки будем ставить «+» или «-» уже не обращаясь к задаче так, чтобы в каждой строке и столбце был один «+» или два «-». Считы­ваем ответ: Алеша Соколов, Женя Ястребов, Миша Орлов.

Логический метод. Представленная задача — логическая. Она мо­жет быть решена и без таблицы, логическим методом, предполагаю­щим получение ответа на вопрос задачи с помощью логических след­ствий, основанных на правилах построения правильных умозаклю­чений (см.: Стойлова Л.П. Математика. — 2012. — С. 93—102).

Физический метод (метод введения удобных единиц величин¹). Многие трудные задачи становятся достаточно легкими, если в про­цессе решения вводятся произвольные, удобные единицы величин.

Задача. Сколько дедушке лет, столько внучке месяцев. Дедушке с внучкой вместе 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

Решение. В задаче речь идет о величине «время». Использованы две единицы времени — год (лета) и месяц. Отношение между ними: 1 год = 12 мес, т. е. 1 год в 12 раз больше 1 месяца. Одинаковое число лет и месяцев возраста дедушки и внучки означает, что дедушка в 12 раз старше внучки. В качестве единицы времени может быть взята любая длительность времени. В ситуации задачи единицей времени удобно

¹ Царева С. Е. Введение произвольных единиц величин при решении задач // Начальная школа. — 1993. — № 5; Царева С. Е. Введение удобных единиц изме­рения как метод решения задач // Математика в школе. — 1997. — № 6.

взять возраст одного из героев задачи, лучше меньший, — возраст внуч­ки (в. в.). Последнее словосочетание может служить и названием новой единицы 1 в. в.. Так как дедушка в 12 раз старше внучки, то его возраст будет равен 12 в. в. Тогда сумма возрастов дедушки и внучки в новых единицах будет равна 12 в. в. + 1 в. в. = 13 в. в., а в годах — 91 г., 91 г. = 13 в. в. 1 в. в. = 91 г.: 13 = 7 лет. Возраст дедушки 7 лет-12 = 84 г.

В рамках одного и того же метода процессы решения могут от­личаться. Такие различия назовем различиями второго уровня — различиями в способах решения. Можно говорить о различных арифметических (алгебраических, геометрических, табличных и т.д.) способах решения.

Задачу будем считать решенной различными способами, если ее  решения отличаются отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу решений или (и) условиями использования этих отноше­ний, что проявляется в содержании и последовательности опе­раций, приводящих к выполнению требования задачи.

При одном и том же способе процессы решения одной и той же задачи могут иметь различия, которые назовем различиями третьего уровня — различия в способе выполнения операций (арифметиче­ских действий, способах решения уравнений, способе построения таблицы, способах построения геометрических фигур в геометриче­ских решениях и т. п.) и различия в форме представления решения. Формы выполнения решения различаются по способам представле­ния решения: устное решение, письменное решение, развернутое и краткое. Следует различать разные способы решения и разные формы записи решения. Так, записи арифметических решений «1) 12 - 4 = 8. 2) 5 · 8 = 40. Ответ: 40 км» и «5 · (12 - 4) = 40. Ответ: 40 км» представляют решения одним и тем же арифметическим способом, записанные в двух формах: «по действиям» и «выражением».

5.3.2. обучение решению задач разными методами и способами

Такое обучение должно быть направлено, прежде всего, на дости­жение личностных результатов (позитивное отношение к миру, то­лерантность, понимание ценности многообразия мнений, способов действий, способность к самостоятельному выбору, вариативность мышления и др.), метапредметных (формирование общего умения решать задачи). Предметные результаты (умение решать математи­ческие, в том числе текстовые задачи, соответствующих требованиям ФГОС НОО видов) будут следствием достижения личностных и ме­тапредметных результатов.

Важнейшей составляющей обучения решению задач разными ме­тодами и способами является мотивационная. Нужно привить детям

любовь к экспериментированию, поиску новых способов действий, стремление и умение выбирать способы действий, подходящие кон­кретной ситуации, для достижения конкретной цели. Для этого с первых дней обучения в школе необходимо предоставлять учащим­ся возможность выполнять любые задания несколькими способами, в нескольких формах, поощрять инициативу в этом направлении, организовывать сравнение разных способов по разным основаниям (например, в форме ТРИЗовской игры «Хорошо — плохо»).

Например, результат счета предметов для ответа на вопрос «Сколь­ко?» не зависит от порядка счета. Поэтому одну и ту же группу пред­метов можно по-разному упорядочивать для счета. Учащиеся могут экспериментировать, по-разному упорядочивая и размещая предме­ты при счете. Большой простор для поиска разных способов имеют вычисления. Здесь каждый может стать автором нового способа вы­числения, почувствовать удивление, радость открытия. Возможность по-разному выполнять задания является необходимым условием формирования учебной самостоятельности, способности к самостоя­тельному и ответственному выбору. Предоставляя учащимся такую возможность при изучении любого учебного материала, на каждом уроке, учитель делает овладение разными методами и способами ре­шения текстовых задач естественным и органичным.

Арифметический метод — основной. Переход к рассмотрению дру­гих методов решения мотивируется задачами, которые недоступны или трудны учащимся для арифметического решения, а новым методом решаются понятным для учащихся в исполнении учителя образом. В учебно-методических комплектах по математике представлены воз­можные подходы и соответствующие учебные материалы. Остановимся на обучении алгебраическому методу решения текстовых задач.

Подготовке к применению уравнений для решения задач служит формирование представлений о буквенных выражениях, уравнениях, решение простейших уравнений, обучение записи словесно заданных отношений и зависимостей на языке равенств.

Самые легкие для составления уравнения задачи, это задачи вида: «Я задумал число, прибавил к нему 5 (вычел из него 5, вычел его из 10, умножил …) 5 и получил 15 (5, 0, …). Какое число я заду­мал?». Знакомство с решением текстовых задач с помощью уравнения можно начинать с задач этого вида, продолжив работой подобными, но сюжетными задачами.

Важную роль играют уроки знакомства с алгебраическим спосо­бом решения задач, где обязательно должно проводиться его срав­нение с арифметическим. Не менее важное значение имеют и обоб­щающие уроки, на которых систематизируются все знания и умения учащихся, относящиеся к процессам арифметического и алгебраи­ческого решений.

Обучение поиску алгебраического решения, обучение составле­нию уравнения, заключается в явном ознакомлении учащихся с осо-

бенностями перевода словесно заданных отношений на язык мате­матических равенств, выполнении специальных заданий — учебных действий по переводу содержания задачи на язык математических выражений и уравнения и накопления опыта решения текстовых за­дач с помощью уравнения.

Обучение умению находить разные способы решения. В рамках одного метода обучение может проходить через организацию интуи­тивного поиска других путей решения и через обучение приемам, по­могающим обнаруживать другие способы решения. Такое обучение включает: • накопление опыта нахождения других, нескольких спо­собов решения по интуитивной догадке, а также после применения приема учителем, учащимися по указаниям учителя; • осознание дей­ствий, «подсказывающих» другой способ решения как приема, помо­гающего находить другие способы решения; • освоение приема при его применении к решениям, данным в готовом виде или найденным самостоятельно; • накопление опыта решения задач разными спосо­бами, развитие способности находить разные способы решения.

Приемы, помогающие находить другие способы решения: • по­строение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом; • использование другого способа разбора задачи при поиске и составлении плана решения; • дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на ре­зультат решения; • представление практического решения; • замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи; • явное выделение всех зависимостей в задаче; • выполнение арифметических действий, имеющих смысл в ситуации задачи, с парами данных в задаче чисел, с результатами ранее выполненных арифметических действий и выбор последова­тельности действий, составляющих арифметическое решение задачи. Возможно одновременное применение нескольких приемов¹. Все на­званные приемы применимы к арифметическим решениям, некото­рые — и к решениям другими методами. Ниже показано применение некоторых из них:

1) дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на ре­зультат решения.

Задача. В тарелке 6 яблок и 4 груши. 3 фрукта взяли. Сколько фрук­тов осталось?

Решение: 6 + 4 - 3 = 7. Дополнив условие информацией о том, какие фрукты взяли, получаем новые решения: (6 - 3) + 4 = 7; 6 + (4 - 3) = 7; (6 - 2) + (4 - 1) = 7; (6 - 1) + (4 - 2) = 7;

¹ Царева С. Е. Различные способы решения текстовых задач // Начальная школа. — 1991. — № 2; Царева С. Е. Нестандартные виды работы с задачами на уроке как средство реализации современных педагогических концепций и тех­нологий // Начальная школа. — 2004. — № 4.

2) замена данной задачи другой.

Задача. На одной полке 5 книг, а на другой на 3 книги больше. Сколько книг на двух полках?

Решение стандартное. 5 + (5 + 3) = 5 + 8 = 13. Уравняем количе­ство книг на полках, получим задачу: «На двух полках было по 5 книг. Сколько книг на двух полках?» Решение: 5 + 5 = 10. В исходной зада­че на второй полке было на 3 книги больше. Следовательно, и общее количество книг на двух полках в исходной задаче будет на 3 больше. Решение (исходной задачи): (5 + 5) + 3 = 13.

3) составление арифметических действий (выражений) с дан­
ными задачами.

Задача: «Токарь с производительностью 6 дет./ч изготовил 54 дета­ли, а его ученик работал то же время с производительностью 3 дет./ч. Сколько деталей изготовили токарь и его ученик?»

Решение. Составим как можно больше выражений и найдем их зна­чения: 1) 54: 6 = 9; 2) 54: 3 = 18; 3) 6: 3 = 2; 4) 3: 6 = ¹/₂; 5) 1 + ¹/₂ = 1 ¹/₂; 6) 54 · 1 ¹/₂ = 81; 7) 6 + 3 = 9; 8) 9 · 9 = 81; 9) 6 - 3 = 3; 10) 9 · 3 = 27; 11) 54 + 27 = 81; 12) 54: 2 = 27; 13) 1 + 2 = 3; 14) 27 · 3 = 81; 15) 6 - 3 = 3; 16) 3 · 9 = 27; 17) 54 + 54 = 108; 18) 108 - 27 = 81 … Выберем последо­вательности действий, задающие решения: • 54: 6 = 9; 9 · 3 = 27; 54 + + 27 = 81. Ответ: 81 дет. • 6: 3 = 2; 54: 2 = 27; 54 + 27 = 81; • 6 = 9; 6 - 3 = 3; 9 · 3 = 27; 54 + 27 = 81. • 9 · 3 = 27; 6: 3 = 2; 1 + 2 = 3; 27 · 3 = = 61; • 3: 6 = ¹/₂; 1 + ¹/₂ = 1 ¹/₂; • 54: 6 = 9; 6 + 3 = 9; 9 · 9 = 81.

Решение задач разными способами, обучение решению задач разными способами обладает огромным развивающим и воспиты­вающим потенциалом и потому заслуживает должного внимания со стороны учителя.

5.4. виды работы с задачами в обучении математике

5.4.1. зависимость деятельности учащихся с задачей от цели и планируемых результатов ее включения в учебный процесс

Эффективное использование задач возможно лишь в случае, ког­да учитель, во-первых, может определить конкретную цель и плани­руемые результаты работы с каждой задачей на уроке или вне урока (домашняя работа, внеурочная) и, во-вторых, умеет выбрать под­ходящий вид работы с задачей, организовать деятельность учащих­ся на уроке в соответствии с поставленной целью. Заметим, цель включения задачи в урок учитель обязан донести до учащихся

и обеспечить принятие учащимися. Учащиеся имеют право знать, почему и зачем предлагается та или иная задача, тот или иной вид работы, нужно, чтобы они могли участвовать в выборе задач и ви­дов работы с ними.

Определение цели использования задачи в обучении может осу­ществляться двумя взаимосвязанными путями: 1) от общей цели урока или изучения темы и вопроса к выбору задачи и цели работы с ней; 2) от конкретной задачи к целям, для достижения которых эту задачу можно включить в учебный процесс. Не может быть едино­го рецепта использования задачи в обучении. Что делать с задачей на уроке, в домашней работе, во внеурочной работе должно опре­деляться целями и планируемыми результатами включения задачи в урок, особенностями учащихся и задачи.

Выбор цели, планируемых результатов включения задачи в урок или другую форму обучения и виды работы с задачей, организуемой с учащимися, может осуществляться двумя взаимосвязанными спо­собами: 1) от логико-педагогического анализа конкретной задачи к возможным целям; 2) от общей цели к выбору задачи и конкрет­ной цели работы с ней на уроке. Основой способов является логи­ко-педагогический анализ задачи, состоящий в выяснении: • какие математические понятия, отношения, связи, числовые данные содер­жатся в задаче; • какие приемы восприятия и осмысления (анализа содержания) задачи возможны в процессе ее решения, в частности, • какие виды моделей применимы; • какие возможны приемы поис­ка плана решения, виды записи решения; • какие методы и способы решения, виды проверки, работы с решенной задачей допускает.

Задача.»В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 5 м, а другому 4 м. Сколько метров ткани осталось?»

Результаты анализа. В тексте есть понятие величина, длина, еди­ница длины (метр), значение длины (15 м, 5 м, 4 м). Ситуация задачи имеет структуру, определяемую словами было, продали, осталось, или отношением целое и части», где неизвестно числовое значение цело­го. Целое составлено из трех частей (проданная ткань 5 м, 4 м и остав­шаяся ткань). Отношение целого (Ц) и частей (Ч) может быть выражено равенствами: Ц = Ч₁ + Ч₂ + Ч_ост; Ч_ост = Ц - (Ч₁ + Ч₂) = Ц - Ч₁ - Ч₂.