Учимся решать задачи 2 страница

Обучение приемам проверки — это вооружение учащихся инстру­ментами самоконтроля. В проверке решения задач, в особенности текстовых, нет шаблонов и потому этот процесс в значительной мере творческий. Предлагая для проверки разные способы решения задач, мы расширяем представления учащихся о способах решения.

Чтобы эффективно обучать приемам проверки, нужно знать их особенности и возможности. Охарактеризуем некоторые из них.

Прогнозирование и оценка результата или «прикидка и оцен­ка» — краткое название, используемое в тексте ФГОС НОО. Это самый востребованный в настоящее время в обучении математике прием проверки. Когда-то его не принимали всерьез, и приходилось доказывать¹, что овладение им способствует формированию самокон­троля. Это единственный способ проверки решения математической задачи, имеющий признаки предваряющего контроля. Его востре­бованность в настоящее время обусловлена включением в началь­ное обучение математики калькуляторных вычислений, в которых это единственный прием проверки, который может быть средством самоконтроля. Владение этим приемом входит в требуемые ФГОС НОО планируемые результаты обучения математике.

Прием проверки «прикидка и оценка» заключается в том, что в са­мом начале процесса решения на основе предварительного анализа содержания задачи с некоторой точностью прогнозируется результат решения, с которым затем сверяется результат, полученный в про-

¹ Царева С. Е. Проверка решения задачи и формирование самоконтроля учащихся // Начальная школа. — 1984. — № 2; Обучение младших школьников решению задач: Сб. статей / Сост. Н. Б. Истомина, Г. Г. Шмырева. — Смоленск, 2005.

цессе решения. При поиске пути решения, выполнении решения решающий имеет возможность сверять получаемые результаты с про­гнозируемыми, уточнять прогноз. Этот прием применим к арифме­тическим и алгебраическим решениям текстовых задач, а также к ре­шениям вычислительных задач, где прогнозируется искомое числовое выражение некоторой информации (числовое значение величины, количества предметов в группе) или результат арифметического дей­ствия. Чем точнее прогноз, тем выше его проверяющая функция.

Вообще говоря, начиная любое дело, решая любую задачу и желая быть успешными, мы должны иметь представление о том, что хотим получить в результате, как это «что» выглядит, может выглядеть, т. е. должны прогнозировать результат. Деятельность без такого прогно­зирования — псевдо деятельность. Обучение прогнозированию ре­зультата деятельности — это обучение самостоятельности.

Приведем примеры проверки решений с помощью приема про­гнозирования и оценки (прикидки и оценки) результата.

Задача. Когда срезали 6 роз, то осталось 13. Сколько роз было?

Прогноз результата: роз было больше, чем осталось, так как часть роз срезали. Значит, число в результате должно быть больше, чем 13. Решения. При самостоятельном решении учащиеся представили три решения: • 1) 13 - 6 = 7. Ответ: было 7 роз; • 2) 6 + 13 = 19. Ответ: было 19 роз; • 3. 6 + 13 = 21. Ответ: роз было 21.

Устанавливаем соответствие прогнозу. Первое решение: 7 < 13, результат не соответствует прогнозу. Вывод: решение невер­ное. Так как число получено правильно выполненным вычитанием, то ошибка заключается в выборе действия. Большее число могло по­лучиться при сложении. Второе и третье решения: 19 > 13? 21 > 13, результат соответствует прогнозу. Вывод: решения могут быть верным. Действие выбрано правильно. Проверим вычисления. При­меним поразрядное сложение: 6 + 3 = 9; 9 + 10 = 19. Второе решение верное, в третьем — ошибка в вычислениях.

Задача (вычислительная). Найти частное или частное и остаток 256 489: 45 с помощью калькулятора. Оцените правильность найденного результата, перед вычислением сделав прогноз результата.

Прогноз результата. Частное — четырехзначное число (так как первое неполное делимое 256 тысяч, то первая цифра частного — это цифра разряда единиц тысяч. Это деление с остатком, так как при умно­жении любого частного на делитель 45 последняя цифра была бы 0 или 5. Так как в делимом последняя цифра 9, то остаток должен окан­чиваться цифрой 9 или цифрой 4. Остаток меньше 45.

Результаты (полученные разными вычислителями): 1) 256 489: 45 = 5 699 (ост. 34) Для получения остатка частное (число до запятой на дис­плее калькулятора) умножается на делитель и полученное произведение вычитается из делимого: 5 699 · 45 = 256 455, 256 489 - 256 455 = 34; 2)

256 489: 45 = 5 699 (ост. 75); 3) 256 489: 45 = 11542 005; 4) 256 489: 45 = 5 699 (ост. 85); 5) 256 489: 45 = 569.

Оценка соответствия прогнозу. Прогнозу соответствует только первый результат. Во втором в качестве остатка взято число, записан­ное двумя цифрами после запятой из результата деления на дисплее, в третьем, скорее всего, нажата клавиша со знаком умножения; в чет­вертом остаток, видимо, взят так же, как во втором случае, да еще, возможно, при наборе делимого переставлены цифры: на частном это не сказалось, а десятичная дробь после запятой увеличилась. В по­следнем случае, вероятно, не набрана последняя цифра делимого.

Способы прогнозирования результата вычислений требуют знания свойств действий, побуждают учащихся открывать такие свойства или узнавать о них от учителя, в справочниках, учебнике. Они побужда­ют учащихся к наблюдению за цифровой записью чисел, к исследо­ванию зависимости цифрового «одеяния» результата от цифрового «одеяния» чисел, с которыми выполняется действие.

Прогнозирование результата решения задач требует выполнения сложных интеллектуальных действий, в составе которых анализ, срав­нение, классификация, сериация и потому способствует развитию мышления. Прогнозирование также развивает интуицию, так как опирается на неполный анализ задачи.

Дать правильный ответ зачастую трудно, а иногда и невозможно. Так, очень трудно прогнозировать результат решения комбинатор­ной задачи, если ты владеешь только способом перебора вариантов. Обнаружение невозможности прогнозировать результат без знания специальных методов решения комбинаторных задач может служить мотивом овладения двумя основными правилами подсчета числа ком­бинаций: правилом суммы и правилом произведения.

Пример. Как вы думаете, сколько существует способов размещения пяти человек в классе, рассчитанном на 30 человек? Обычно учащиеся и студенты без обращения к названным правилам прогнозируют резуль­тат решения этой задачи в пределах полутора сотен или полутора тысяч. Применив правило произведения получаем, что число возможных раз­ных способов размещения пяти человек в классе с 30 посадочными ме­стами равно 30 · 29 · 28 · 27 · 26, что приблизительно равно 27 000 · 600 ≈ ≈ 30 000 · 600 = 18 000 000 (точный результат 17 100 720).

Приведенный пример показывает, что качество прогнозирова­ния зависит от уровня компетентности в соответствующих областях знания. А обучение прогнозированию, в свою очередь, способствует повышению этой компетентности.

Установление соответствия результата решения содержанию задачи. Это получение всех возможных следствий из информации в тексте задачи с введенным в него результатом. Рассуждения ведутся на языке задачи. Так как текстовая задача формулируется

на естественном языке, то и проверка ведется на этом же языке, осно­вывается на смысле слов и предложений этого языка. При проверке арифметического или алгебраического решения используются также арифметические действия. В методической литературе рассматривае­мый прием иногда называют «разыгрыванием условий задачи».

Этот прием проверки основан на смысле понятия «решить задачу». Решить задачу — значит выполнить ее требование, получить ответ на ее вопрос так, чтобы ответ соответствовал содержанию задачи, со­ответствовал задаче. Соответствует задаче тот результат, при введении которого вместо требования полученный текст не будет содержать противоречий. Заметим, что данный прием проверки проверяет только результат решения, ответ. Если результат оказы­вается неверным, то устанавливают ошибку, проверяя правильность процесса решения с помощью других приемов проверки. Полезны предположения о причинах ошибки, прогноз результата. Покажем действие приема на примерах.

Задача 1. У мамы было 100 р. и 50 р. Она купила молока на 40 р. Сколько денег у нее осталось?

Решение. I. 100 р. - 40 р. = 60 р. Ответ: у мамы осталось 60 р.

II. 100 + 50 - 40 = 110 (р.) Ответ: у мамы осталось 110 р.

III. 50 - 40 = 10 (р.), 50 + 10 = 60 р.). Ответ: у мамы осталось 60 р.

IV. 50 - 40 = 10 (р.); 100 - 10 = 90 (р.). Ответ: у мамы осталось 90 р. V (с помощью уравнения). х + 40 = 100 + 50; х + 40 = 150; х =

= 150 + 40; х = 190. Проверка. Введем результат решения в текст задачи. Получим: «У мамы было 100 р. и 50 р. Она купила молока на 40 р. И у нее осталось 60 р. (110 р.; 90 р. или 190 р.)». Для каждой пары данных, включая и дан­ное из вставленного в текст ответа на вопрос задачи, определяем (как при проведении рассуждений от данных к вопросу) что можно узнать по этим данным. Пары данных: 100 р. и 50 р.; 100 р. и 40 р.; 100 р. и 60 р. (110 р., 90 р., 190 р.); 50 р. и 40 р.; 50 р. и 60 р. (110 р., 90 р., 190 р.)

Каждая пара данных дает начало цепочке логических выводов.

1) Возьмем пару 100 р. и 50 р. Это деньги, которые были у мамы. Всего денег у мамы было 150 р. (100 + 50 = 150). После покупки у нее осталось 60 р., следовательно, остальные 90 р. (150 р. - 60 р. = 90 р.) мама потратила на покупку молока. Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что за молоко мама заплатила 40 р., а не 90 р. Ре­зультат «60 р. осталось у мамы» привел к противоречию, следователь­но, он не соответствует задаче, он неверен. Аналогичные рассуждения от данных 100 р. и 50 р. для других результатов показывают, что толь­ко результат «у мамы осталось 110 р.» удовлетворяет условию задачи. Правильный ответ на вопрос задачи: «У мамы осталось 110 р.».

2) Начнем рассуждения с другой пары данных: 100 р. и 60 р., где 100 р. это часть денег, которые были у мамы, а 60 р. — все деньги, которые у нее остались после покупки. Зная, что у мамы было 100 р.

и 50 р., можно утверждать, что у нее остались эти 50 р. и еще сдача со 100 р. от покупки молока: 100 р. - 40 р. = 60 р. Тогда оставших­ся денег будет 50 р. + 60 р. = 110 р., а не 60 р. Ответ «60 р. осталось у мамы» — неверный. Это лишь часть оставшихся денег.

Аналогично ведутся рассуждения от 100 р. и 110 р., 100 р. и 190 р. Для последнего результата достаточно 190 р. представить как 100 р. и 90 р., что больше чем 100 р. и 50 р., которые были у мамы до покупки. Это противоречит условию задачи. Ответ «у мамы осталось 190 р.» — неверный. Установим причины неверного результата. В арифметиче­ском решении и решении с помощью уравнений их может быть две: неверный выбор действий или неверные вычисления. Далее проверяем соответствующим образом и то и другое, пока не найдем причину.

Задача 2. Один токарь может изготовить 150 деталей за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней изготовят эти 150 деталей два токаря, работая одновременно?

Решение. I. 1) 10 + 15 = 25; 2) 150: 25 = 6 (дней). Ответ: за 6 дней.

II. 1) 150: 15 = 10 (дет./дн.); 2) 150: 10 = 15 (дет./дн.); 3) 10 + 15 = = 25 (дет./дн.); 4) 150: 25 = 6 (дн.). Ответ: за 6 дней.

Проверка. Если для проверки предъявляются оба решения, то веро­ятность того, что ответ «Работая одновременно два токаря изготовят 150 деталей за 6 дней» верный, велика. Но получение одинакового ре­зультата не характеризует ход решения. При его проверке рассуждения могут быть следующими.

Пусть два токаря работая одновременно, изготовят 150 деталей за 6 дней (рассуждения начаты с информации, заложенной в условии задачи «150 дет.» и результате решения «6 дн.»). Тогда за один день они вдвоем изготовляют 150: 6 = 25 (дет.). Используем оставшиеся пары данных: 150 дет. и 10 дн., 150 дет. и 15 дн. Из этих данных сле­дует, что первый токарь за один день делает 15 деталей, а второй — 10 деталей: 150: 10 = 15, 150: 15 = 10. Тогда оба токаря за один день изготовят 25 дет. (15 + 10). Такое же значение мы получили, используя в рассуждениях результат решения. Вся информация о работе двух то­карей использована для получения следствий из нее. Противоречий не обнаружено. Вывод: ответ «Два токаря, работая одновременно, из­готовят 150 деталей за 6 дней» верный.

Правильный ответ не гарантирует правильности процесса реше­ния, а в обучении математике важен именно способ решения. Поэто­му после установления соответствия результата содержанию задачи нужно проверить правильность хода решения. Одним из эффек­тивных приемов проверки хода решения текстовой задачи является прием «определение смысла составленных по задаче выражений (смысла арифметических действий в решении)»¹.

¹ Царева С. Е. Один из способов проверки решения задачи // Начальная школа. — 1988. — № 2. — С. 52 — 56.

Определение смысла составленных по задаче выражений (арифметических действий). В правильном арифметическом или алгебраическом решении текстовой задачи любое арифметическое действие имеет смысл, соответствующий условию задачи. Если все действия имеют смысл в ситуации задачи, и смысл последнего дей­ствия позволяет ответить на ее вопрос, то ход решения правилен; если при этом верны и вычисления, то задача решена правильно.

Возможно, вы вспомните ситуации, когда при решении текстовой задачи необдуманно выбранное арифметическое действие с числовы­ми данными задачи оказывалось бессмысленным. Например, учитель говорит ученику: «Посмотри на свое второе действие. Что обознача­ет число 30?» (Число ящиков с грушами.) «А число 4?» (На 4 ящика больше ящиков с яблоками.) «То есть, 4 — это число ящиков. Что же ты получил, умножая ящики (число ящиков) на ящики (на число ящиков)?» (Ничего.) «Да, это произведение не имеет смысла. Вы­вод?» (Второе действие выбрано неверно.)

Приведем пример проверки рассматриваемым приемом решений задачи 2 об изготовлении деталей.

Решение: 1) 10 + 15 = 25; 2) 150: 25 = 6 (дней). Ответ: за 6 дней».

Проверка. • Читаю первое действие (выражение) и его значение: «Сумма 10 и 15 равна 25». • Нахожу в тексте задачи, что обозначает число 10 и число 15; 10 — это 10 дней за которые, один первый токарь изготовит все 150 деталей; 15 — это 15 дней, за которые один второй токарь, изготовит все 150 деталей. • Определю, что обозначает или может обозначать в соответствии с названными смыслами сумма 10 и 15. Она могла обозначать количество дней, за которые каждый то­карь изготовит по 150 деталей, работая последовательно 25: вначале первый отработает 10 дней, а потом приступит к работе второй токарь и отработает 15 дней. В результате за 25 дней будет изготовлено 300 деталей. Но задаче такая работа не предусмотрена. Смысл действия не соответствует содержанию задачи. Вывод: действие выбрано не­верно, задача решена неправильно.

Если в смысле первого действия рассматриваемого решения мы не увидели ничего, кроме того, что сумма дней обозначает также коли­чество дней, то читаем второе действие: 150: 25. • Обращаемся к усло­вию задачи и первому действию: 150 — это число деталей, а 25 — это число дней. Если допустить, что деление имеет смысл, то 6 — это число деталей в один день, а не дней; 6 дет. в день не дает ответ на вопрос задачи. Но 150: 25 не имеет смысла, так как 150 деталей изготовлено не за 25 дней (за 25 дней было бы изготовлено 300 деталей). Таким образом, второе действие не имеет смысла в ситуации задачи: ход ре­шения задачи неверен.

Второе решение проверяется аналогично. В нем все действия имеют смысл, а смысл последнего действия таков, что его результат позволя­ет ответить на вопрос задачи. Развернутый вывод: все действия имеют

смысл, последнее действие (результат последнего действия) дает от­вет на вопрос задачи; правильно выполнены все вычисления, значит задача решена правильно.

Таким образом, проверка с помощью рассматриваемого приема представляет собой циклы операций по каждому арифметическо­му действию из решения задачи, начиная с первого. Каждый цикл состоит из операций:• читаем выражение (арифметическое дей­ствие), • определяем смыслы входящих в выражение (арифметическое действие) чисел и смысл результата действия по тексту задачи и (или) смыслу предшествующих действий — вопрос, ответ на который дается с помощью результата этого арифметического действия. Если ариф­метическое действие и его результат имеют смысл в ситуации задачи, то переходим к таким же операциям по следующему арифметическо­му действию. Так действуем до обнаружения действия, не имеющего смысла, или до тех пор, пока смысл арифметического действия не бу­дет таким, что мы сможем ответить на вопрос задачи.

Если арифметическое действие не имеет смысла в ситуации за­дачи, то решение неверно, проверка закончена, а решение требует коррекции. Если все действия имеют смысл, но последнее ариф­метическое действие не дает ответа на вопрос задачи, то решение либо не доведено до конца, либо выбраны не те арифметические действия, которые нужны для решения задачи. В обоих случаях за­дача не решена.

Рассуждения при проверке данным приемом близки рассуждениям в процессе выбора арифметических действий или составления урав­нения при решении задачи. Однако при выборе действий и состав­лении уравнения мы идем от содержания задачи к математической записи, а при установлении смысла выражений — от математической записи к содержанию задачи. Это различие позволяет решающему взглянуть на задачу и свое решение по-новому, что повышает его диагностическую функцию. Достоинством данного приема является то, что его можно применять по ходу решения.

Подготовкой к ознакомлению с рассматриваемым приемом про­верки решения является вся работа, направленная на понимание уча­щимися смысла арифметических действий, в частности выполнение учащимися заданий следующих видов:

а) обозначить соответствующим арифметическим действием ре­
ально выполняемые, описываемые или изображенные действия
с предметами или движение по числовой прямой;

б) для данных числовых выражений в одно действие выполнить,
описать или изобразить соответствующие им действия с предметами
и перемещения по числовой прямой;

в) установить соответствие между действиями с предметами, пере­
мещениями по числовой прямой и арифметическими действиями,
представленными числовыми выражениями;

г) дано числовое выражение в одно или более действий, указано,
что обозначает каждое число, нужно определить, что будет обозна­
чать числовое значение выражения;

д) записать как можно больше арифметических действий с чис­
ловыми данными заданной текстовой задачи, с результатами таких
арифметических действий, для каждого действия определить его
смысл в ситуации задачи и др.

Обоснование по ходу решения. Проверка этим способом прово­дится одновременно с поиском плана решения и заключается в том, что каждый шаг поиска решения сопровождается обоснованием. Прием применим ко всем видам задач: текстовым, вычислительным, уравнениям, задачам на сравнение и преобразование выражений и другим, в том числе не математическим, ко всем методам и спо­собам решения. В практике обучения такая проверка проводится в случае, когда учащиеся решают задачу «с объяснением». Образцы приводятся в пособиях для учителя. Однако то, что такое обоснова­ние, объяснение решения выполняет функцию пошагового контро­ля, подчеркивается не всегда, а иногда потом еще и дается задание «проверить» решение. Между тем нужно, чтобы учащиеся понимали: убедительное обоснование по ходу решения это уже проверка. Про­верка другими приемами может быть нужна, если нам не удалось обосновать решение или мы хотим поучиться проверять решение другими приемами.

Задача. Если из одной коробки переложить в другую 8 карандашей, то в обеих коробках карандашей будет поровну. На сколько больше ка­рандашей в первой коробке, чем во второй?

Решение (с обоснованием). В задаче описано уравнивание. Основных способов уравнивания три: 1) уравнивание по меньшему (из большего удаляется «лишняя» часть); 2) по большему (к меньшему добавляется «недостающая» часть); 3) по среднему («лишнее» в большем делится пополам, одна половина оставляется в большем, а вторая добавляется к меньшему). В задаче описана ситуация, соответствующая третьему способу уравнивания. Следовательно, 8 карандашей — это половина «лишних» карандашей в первой коробке. Тогда в первой коробке каран­дашей было больше на (8 + 8) = 16 карандашей. Правильное арифме­тическое решение: 8 + 8 = 16, или 8 · 2 = 16. Ответ: в первой коробке было на 16 карандашей больше, чем во второй.

Решение другим методом или способом. Если при решении задачи несколькими методами и (или) способами получены разные результаты, то некоторые из них неверные. Если результаты решения разными методами и способами одинаковы, то велика вероятность того, что результаты правильные. Обучение этому приему — это обу­чение умению решать задачи разными методами и способами.

Составление и решение обратной задачи. С помощью этого приема проверяют только результат решения. Правильность результа-

та определяется по наличию или отсутствию противоречий в задаче, обратной решенной. Напомним: задачу называют обратной данной, если в ней искомое прямой задачи является данным, а одно из дан­ных прямой задачи — искомым.

Действия проверяющего. • составление обратной задачи; реше­ние обратной задачи (если это возможно); • сравнение результата решения обратной задачи с данным, которое заменили требовани­ем; • вывод (если результат решения и замененное данное одина­ковы, то результат решения первой задачи можно считать верным, если не одинаковы, то неверным, при условии, что обратная задача решена правильно). • если противоречие обнаруживается при со­ставлении обратной задачи или в процессе ее решения, то обратная задача решения не имеет, проверяемый результат неверен. Просто­та вывода в этом случае позволяет использовать данный прием при самоконтроле.

Пример. При решении задачи «Ручка в два раза дороже карандаша, а ластик в три раза дешевле карандаша. Стоимость ручки, карандаша и ластика вместе составляет 40 р. Сколько стоит ластик?»¹. Трое уча­щихся получили три результата: ластик стоит 8 р., 4 р., 6 р.

Проверим эти р езул ьтаты: • составим одну обратную за­дачу из возможных трех. (Например: «Ручка в два раза дороже каран­даша, а ластик в три раза дешевле карандаша. Чему равна стоимость ручки, карандаша и ластика вместе, если ластик стоит а) 8 р.; б) 4 р.; в) 6 р.?»); • решаем задачу. Если ластик стоит а) 8 р.; б) 4 р.; в) 6 р., то карандаш: а) 8 · 3 = 24 (р.); б) 4 · 3 = 12 р.; в) 6 · 3 = 18 р. Тогда ручка стоит а) 48 р.; б) 24 р.; в) 36 р.; • сравниваем с замененным данным. а) Стоимость ручки уже превышает данную в прямой задаче общую стоимость покупки в 40 р.; б) 4 + 12 + 24 = 40 (р.) — равна указанной в прямой задаче общей стоимости; в) 6 + 18 + 36 > 40; • делаем вывод: «ластик стоит 8 р.» — неверно; «ластик стоит 4 р.» — верно; «ластик стоит 6 р.» — неверно.

Сличение с правильным решением — образцом хода и (или) результата. Образцом хода решения может быть мысленный, визу­альный или словесно-логический образ процесса решения — форма существования общего и частного умений решать задачи. Сличение с мысленным образцом хода решения происходит при логически развернутом решении, решении с обоснованием. Образцом может служить «Памятка» по решению задач, подробная запись решения похожей задачи. Обращение к таким образцам помогает найти ре­шение и служит средством самоконтроля.

Повторное решение тем же методом и способом может слу­жить средством проверки правильности решения, если проводится с обоснованием.

Стойлова Л. П. Математика. — М., 2012. — С. 199.

Признаком высокой эффективности обучения приемам провер­ки решений задач является самостоятельное их применение учащи­мися в качестве средства самоконтроля при решении любых видов математических задач, а также задач при изучении других учебных предметов.

5.2.5. обучение решению задач определенных видов в формировании умения решать задачи

Умение решать задачи определенных видов может формироваться на основе общего умения, когда вначале осваиваются общие приемы, помогающие решению задач, а применение их к задачам конкретного вида приводит к овладению способами решения задач этого вида.

В умении решать задачи определенных видов особенно важно владение учащимися способами решения базовых задач. Назовем задачу базовой в некоторой группе задач, если она может быть решена одним действием из соответствующей области и  ее  нельзя разделить на две задачи из этой же группы. Для вычислительных задач базовыми являются задачи на нахождение результатов таблич­ных вычислений: сложение и умножение двух однозначных чисел и соответствующие случаи вычитания и деления. Среди уравнений базовыми являются уравнения вида а+х  = b,x + a = b, а - х = b, x  - a = b, а х = b,  x  a = b, а:х = b,  x : a = b.

Среди текстовых сюжетных арифметических задач базовы­ми являются задачи, которые могут быть решены с помощью одного арифметического действия:

а) раскрывающие смыслы арифметических действий («Было
а предметов (литров, метров, …) и (добавили) предметов (литров,
метров, …). Сколько всего?», «Было а …, взяли (убрали, отрезали
b …). Сколько осталось?», «Было а предметов (литров, метров, …)
одного вида, а другого b  раз по а. Сколько было предметов (литров,
метров, …) другого вида?», «а предметов (литров, метров, …) нуж­
но разделить по b предметов (литров, метров, …). Сколько равных
частей получилось?» и «а предметов (литров, метров, …) нужно раз­
делить на b равных частей. Сколько предметов (литров, метров, …)
будет в каждой части?»;

б) раскрывающие смыслы отношений «больше (меньше) на … »
и «больше (меньше) в … раз» (структура задач этого вида: «… □ штук
(килограммов, литров, …), а … на А штук (килограммов, литров, …)
больше (меньше). Сколько …?», «… □ штук (килограммов, литров,
…), это на А штук (килограммов, литров, …) больше (меньше), чем
…. Сколько …?».; «… □ штук (килограммов, литров, …, а … в А раз
больше (меньше). Сколько …?», «… □ штук (килограммов, литров,
…), это в А раз больше (меньше), чем …. Сколько …?»);

в) содержащие три величины, связанные пропорциональной
зависимостью, значения двух из которых известны, а значение

третьей нужно найти; три величины — это: «цена — количество товара — стоимость», «скорость (производительность труда) — вре­мя — длина пути (объем выполненной работы)», «грузоподъемность (вместимость одного механизма) — количество механизмов (емко­стей) — общая масса (объем груза)» и т. п. Задачи этого вида — это три взаимно обратные задачи, формулы арифметического и ал­гебраического решений которых имеют вид: ab = c, a:c = b,bc = a («Цена 40 р./л, объем купленного масла 5 л. Сколько стоит покупка?», «Купили растительного масла на 200 р. по 40 р. за литр. Сколько ли­тров масла купили?», «За 5 л растительного масла заплатили 200 р. Какова цена масла?»; «Автомобилист ехал 2 ч со средней скоростью 60 км/ч. Какой путь проделал автомобилист?», «Автомобилист про­ехал 120 км со средней скоростью 60 км/ч. Сколько времени автомо­билист был в пути?», «Автомобилист проделал путь в 120 км за 2 ч. С какой средней скоростью ехал автомобилист?» и т.п.).

Научить решению базовых задач нужно так, чтобы каждый ученик решал любую из них с любым сюжетом легко, быстро и правильно. Такого результата можно достичь, если строить обучение на основе понимания и овладения общими способами действий.

Обучение решению базовых задач должно проходить несколько этапов.

Первый этап. Основное назначение задач в этот период — обе­спечить понимание и усвоение учащимися смыслов арифметических действий и отношений между числами, величин и взаимосвязей между ними. Текстовые сюжетные базовые задачи на этом этапе задают ситуации, требующие предметных действий, раскрываю­щих эти смыслы. В этот период учащиеся решают текстовые задачи на основе реальных или условных предметных моделей, обозначая действия с предметами (моделями предметов) арифметическим действием.

Например, учитель (или ученик) читает задачу «На одной полке стояли □□□□ книги, а на другой — □□ (на □□ больше). Сколько книг на двух полках (на второй полке)?». Дети в тетради изображают □ □□□ □□ и записывают: 4 + 2 = 6. Ответ на вопрос задачи находят, считая элементы в получившемся множестве. Равенство 4 + 2 = 6 есть лишь обозначение задачной ситуации и ответа на ее вопрос.

При первом рассмотрении базовых текстовых задач с тройками величин (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, ко­личество, предметов, масса всех предметов; время, скорость, длина пути и т.п.), основное внимание также нужно уделять смыслам со­ответствующих понятий. Арифметические действия должны произ­водиться только на основе смыслов и соответствующего субъектного опыта учащихся. Например, при рассмотрении задач на «куплю-про­дажу» актуализируем покупательский опыт детей вопросами: «Быва­ли ли в магазине?», «Что покупали?», «Как узнавали, сколько нужно заплатить за всю покупку?», «Покупали ли несколько штук одина-