Учимся решать задачи 1 страница

®

Прочитай задачу. Подчеркни условие и требование задачи разными цветами.

В гараже было 20 машин. Затем приехало еще 40 машин. Сколько машин стало в гараже?

Рассмотри схемы в задаче. 7

20 маш., 40 маш.

20 + 40

Реши задачу. Вычисли ответ.

Рис. 5.11

Далее показаны два вида оригинальных моделей¹: первая «вышла» из представления задачи на отрезках, но не требует измерения длин; вторая — «это диаграмма Эйлера— Венна, состоящая из двух кругов, один из которых находится внутри другого»² (рис. 5.11).

Постановка специальных вопросов по тексту задачи. Когда мы чего-либо не понимаем, мы задаем вопросы. Умение ставить вопро­сы — важное умение в любой сфере деятельности. Не зря говорят: «Хорошо поставленный вопрос — это наполовину и ответ».

Основные вопросы по текстовой задаче могут быть такими: • О чем задача? Что требуется узнать (доказать, найти)? • Что из­вестно (о том, о чем спрашивается в задаче)? • Что неизвестно? • Ка­кие предметы (понятия, объекты) описываются в задаче? • Какими свойствами, величинами они характеризуются? • Что обозначают слова …, числа …, словосочетания …? Постановка вопросов — это универсальное учебное действие, компонент общего умения решать задачи. Чтобы отношение к тексту «с вопрошанием» стало привыч­кой, учащиеся должны иметь возможность задавать вопросы по лю­бой задаче.

Приемы поиска путей решения и составления плана решения

(табл. 5.3). Поиск путей решения происходит и в процессе анализа, осмысления содержания задачи. Но главная цель первого этапа — поиск ответа на вопрос «Что?» (что это за задача, что в ней есть и т.д.). Полезно удерживание детей на этом вопросе «что?», пока за­дача не будет понята.

¹ Захарова О. А. Математика в вопросах и заданиях: 2 кл.: Тетрадь для са­
мостоятельной работы № 1 / О. А. Захарова, Е. П. Юдина / Под ред. Р. Г.Чурако-
вой. — М., 2010. — С. 14; Тетрадь к учебнику математики: ЧекинА.Л. Математи­
ка: 2 кл.: В 2 ч. / Под ред. Р. Г. Чураковой. — М., 2010. — Ч. 1.

² Чекин А. Л. Математика: 2 кл.: Метод. пособие / Под ред. Р. Г. Чураковой. —
М., 2009. — С. 30.

Таблица 5.3

Назначение Приемы выполнения Критерии владения

Наметить (со­ставить) план ре­шения: последова­тельность действий для перехода от условия задачи к выполнению тре­бования (действия задаются на языке выбранных средств); от метода (арифметические, предметные, изме­рительные, геоме­трические построе­ния)

Рассуждения от данных к вопросу: • по данному тек­сту задачи; • преобразован­ному тексту задачи; • моде­ли задачи (рисунку, схеме, таблице, чертежу, графику). Рассуждения от вопроса к данным: • по данному тексту задачи; • преобразо­ванному тексту задачи; • модели задачи (по рисунку, схеме, таблице, чертежу, графику и др.) (Возможно сопровождение рассуждений построением графической схемы)

Знает, что и в ка­кой последова­тельности делать, чтобы составить план решения, составляет план решения; называ­ет и может обо­сновать действия (арифметические, измерительные и др.), их после­довательность для того, чтобы выполнить требо­вание задачи

Поиск путей решения и составления плана решения — это поиск ответов на вопрос «Как?». Основные приемы выполнения: рассужде­ния от вопроса к данным и (или) от данных к вопросу по данному тексту или модели, с использованием или без использования графи­ческой схемы рассуждений.

Схема рассуждений «от данных к вопросу» по тексту арифмети­ческой текстовой задачи. • Выбираем два данных и задаем вопрос: «Зная … и … (выбранные данные), что можно найти (узнать)?» От­вечаем: «По этим данным можно найти …. Для этого достаточно … (указывается действие с выбранными числовыми данными)»). • Вы­бираем два данных, которые могут быть: оба данных из оставших­ся после первого шага, одно из них из первой пары или результат действия с числами первой пары данных, а другое — из оставшихся данных. Задаем тот же вопрос: «Зная … и … (выбранные данные), что можно найти (узнать)?» Отвечаем на вопрос: «По этим данным можно найти … Для этого достаточно … (указывается действие с вы­бранными числовыми данными)»). … Так продолжаем до ответа: «По этим данным можно найти искомое. Для этого достаточно …». • Возвращаемся к началу и перечисляем действия, которые доста­точно выполнить для получения искомого.

Схема рассуждений «от вопроса к данным» по тексту арифмети­ческой текстовой задачи. • Читаем требование задачи и задаем вопрос: «Что достаточно знать, чтобы выполнить требование задачи (ответить на вопрос задачи)?». Отвечаем на вопрос, ориентируясь на условие задачи: «Чтобы выполнить требование задачи (ответить на вопрос

задачи) достаточно знать … и ….». Задаем вопрос: «Что из этого в за­даче известно? Отвечаем: «Из названного известно …, а… неизвестно (не известно ничего; известно все)». • Задаем вопрос: «Что достаточно знать, чтобы узнать … (называется неизвестное из предыдущего от­вета)?». Задаем вопрос: «Что из этого известно?» Отвечаем: «Из на­званного известно …, а … неизвестно (не известно ничего; известно все)». … Рассуждения ведем до ответа: «Из названного известно все (называем два данных, имеющиеся в задаче.)». • Далее рассуждения ведутся как ответы в рассуждениях от данных к вопросу «Зная … и …, можно найти …», «Зная … и … можно найти …»,… «Зная … и …, можно найти …, что и требовалось найти. Значит, для решения задачи нужно выполнить следующие действия: 1) … — найдем …; 2) … — найдем …; … найдем искомое (выполним требование задачи)».

При алгебраическом решении с помощью таких рассуждений вы­полняется перевод текста на язык равенств и (или) неравенств. Характер рассуждений зависит от метода решения, используемых вспомогательных моделей. В реальном процессе решения составле­ние плана зачастую соединяется с его выполнением, а рассуждения от данных и от вопроса (требования) к данным чередуются.

Образцы рассуждений от данных к вопросу и от вопроса к данным на примере задачи «На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза боль­ше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?» даны в учебнике ма­тематики Стойловой Л. П¹.

Заметим, что при составлении плана решения с помощью рассу­ждений «от данных к вопросу» и «от вопроса к данным» можно выйти на разные способы решения задачи, выбирая разные пары данных для начала или продолжения рассуждений. По приведенной задаче первой парой данных в рассуждениях от данных к вопросу могут быть взяты «6 ч турист проехал на поезде» и «поезд шел со скоростью 56 км/ч»; «6 ч турист проехал на поезде» и «осталось проехать в 4 раза больше». Для каждой первой пары данных, следующие пары также могут быть выбра­ны по-разному. В результате можно прийти к разным планам решения и к разным арифметическим способам решения. В форме числовых выражений (числовых формул) план решения рассматриваемой задачи может выглядеть так: 1) 56 · 6 + 56 · 6 · 4; 2) 56 · (6 · 4 + 6), 3) 56 · (6 · 4) + 56 · 6 и 4) 56 · 6 · (1 + 4), где 1 часть — это первая часть пути, а 4 части — вторая часть пути (см. решение задач на части, например, в учебнике математи­ки Стойловой Л. П. и «метод введения произвольных (удобных) единиц величин»², в настоящем учебнике названный «физический метод»).

Рассуждения при составлении плана проводятся устно и могут со­провождаться построением графической схемы, которая служит опо-

¹ Стойлова Л. П. Математика. — М., 2012. — С. 196.

² Царева С. Е. Введение произвольных единиц величин при решении задач //
Начальная школа. — 1993. — № 5. — С. 60 — 63.

Рис. 5.12 56 км/ч

56 км

Рис. 5.13

рой мышления, способствует упорядоченности мышления. О поль­зе сопровождения рассуждений графическими схемами писали¹ еще в начале ХХ в., не потеряла она своего значения и в настоящее время, хотя и прибегают сейчас к таким схемам не часто. На рис. 5.12 при­ведены схемы рассуждений по рассматриваемой задаче, приводящие к планам решения (1) 56 · (6 · 4 + 6) и (3) 56 · 6 · (1 + 4)

Поиск путей решения задачи, составление плана решения с по­мощью рассуждений «от данных к вопросу» и «от вопроса к данным» может осуществляться не только по тексту задачи, но и по модели задачи на языке модели. Например, для рассматриваемой задачи по геометрической модели (рис. 5.13) план арифметического решения можно составить в результате таких рассуждений.

¹ Шпитальский Е. Образовательное значение арифметических задач в связи аналитическим приемом и графическим способом их решения. — М., 1904.

Рассуждения от вопроса к данным по геометрической модели (см. рис. 5.13). Требуется узнать длину всего пути, т. е. значение длины в километрах, соответствующее всему отрезку. Так как весь отрезок поделен на равные части, то для получения искомого значения до­статочно знать числовое значение одной части и число частей. Зна­чение длины пути, представленное одной меньшей частью отрезка — 56 км, а число частей сосчитаем. Их 30. (Считать можно обычным способом или с использованием действия умножения: весь отрезок поделен на 5 равных частей большей длины, каждая из которых со­стоит из 6 отрезков меньшей длины, 6 · 5 = 30). Зная значение длины пути одной части и число частей, значение длины всего пути найдем умножением: 56 км · 30 = 1 680 км, или 56 км · (6 · 5) = 1 680 км.

Долгое время считалось, что такие рассуждения проводятся учи­телем: учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают. Однако, уме­ние проводить рассуждения от данных к вопросу и от вопроса к данным задачи является универсальным учебным действием. Уметь задавать вопросы и отвечать на них, рассуждать на основе во­просов нужно самим учащимся. Научить их этому можно по той же схеме, что и другим приемам, помогающим решать задачи: накопле­ние опыта применения приема в деятельности решения задач для достижения других учебных целей по прямым указаниям учителя; осознание приема как помогающего в решении, появление стремле­ния овладеть приемом, принятие соответствующей учебной цели; выбор, конструирование и выполнение учебных заданий, направлен­ных на овладение приемом; самоконтроль за качеством и уровнем владения приемом.

Выполнение плана решения (табл. 5.4). Выполнение плана — это выполнение арифметических действий, решение уравнений и формулирование ответа на вопрос задачи. Важную роль на этом этапе отводится представлению выполненного решения. Это пред­ставление может быть устным и письменным. Обучение устному представлению выполнения плана решения задач — это обучение публичному выступлению, умению ясно и точно выражать свои мыс­ли устно. Специально этому обучают на уроках родного (русского) языка и развития речи. В темы выступлений детей можно включить и представление решений задач (не обязательно математических). Можно подключить и возможности уроков информатики — учить представлению решений задач с использованием презентаций. В обу­чении другим учебным предметам, во внеурочной работе это обуче­ние также должно проводиться.

Особое значение имеет письменная форма выполнения решения задач. Математику можно считать письменным языком представления способов решения задач. Каждый класс математических задач и каж­дый метод решения имеет в математике свою «узаконенную» форму представления. Изучение математики — это и изучение форм записи решений математических задач, включая и прикладные, текстовые.

Таблица 5.4

Назначение Приемы выполнения Критерии овладения

Найти, постро­ить требуемое, ответить на во­прос задачи —выполнить наме­ченные в плане действия

Приемы: вычислительные, способы решения уравнений, построения геометрических фигур и другие в зависимо­сти от метода. Формы выполнения плана: • устное, развернутое или краткое; • письменное, с под­ робной или краткой записью всех или некоторых операций, в принятой или произвольной форме; • предметное, путем реального или мысленного выполнения действий с пред­ метами или с изображениями; • с помощью компьютерных программ

Выполняет все пункты плана, формулирует от­вет на вопрос за­дачи или вывод о выполнении требования; пред­ставляет способ решения устно и письменно в одной из обще­принятых форм

Учащимся начальной школы форму записей, в том числе реше­ния задач, чаще всего задает учитель. Если при этом ученик не знает, почему требуется записать решение именно так, если вопрос о том, зачем нужно или можно записывать решение не обсуждался, то для него запись — это некая процедура, которую нужно выполнить по­тому, что велено. В этом случае огромные образовательные и раз­вивающие возможности записей как средства получения и передачи информации, средства общения, в частности, общения с учителем, с проверяющими, с другими взрослыми, с одноклассниками не реа­лизуются.

Эффективный подход к записям в процессе обучения основан на признании того, что главным показателем качества любой запи­си и любой формы выражения знаний, смыслов, способов действий и т.п. является степень соответствия записи ее назначению, той цели, ради которой она выполнялась.

Если ученик делает какую-либо запись, рисунок, чертеж к задаче для того, чтобы она помогла ему решить задачу: текстовую, вычислить значение выражения, понять правило, изобрести способ выполнения работы и т. п., то лишь та запись (в форме текста, рисунка, чертежа, графика и др.) хороша, которая ему помогла. На эту оценку не долж­но влиять отношение к ней ни другого ученика, ни учителя.

Когда запись делается для того, чтобы показать другому (не себе) способ решения задачи, помочь другому понять что-то, то, как бы ни нравилась собственная запись выполнявшему ее, какой бы по-

нятной и удобной она ему не казалась, критерием и правильности, и понятности и удобства является влияние записи на того, кому она предназначалась.

Если необходимо так представить в записи (рисунке, чертеже, другом графическом, наглядном виде) решение, информацию, чтобы она была понятна любому грамотному человеку, то нужно ориенти­роваться на общепринятые, нормативные формы записи. С учащи­мися необходимо обсуждать вопросы: «Зачем люди пишут?», «Зачем записывают решение задачи?», «Как определять, когда нужно или не нужно записывать?», «Почему появились нормативные формы записи? Когда нужно их использовать?» «Когда нужно изобрести форму записи, а когда записать в известной форме?».

Если названные и подобные вопросы будут вопросами детей, то найти ответы будет нетрудно: в общем виде — в специальном диа­логовом обсуждении, а в каждом конкретном случае — самостоятель­но, с уточнением нужной информации (зачем нужна запись, кому, какие требования или пожелания у того, кому запись предназначает­ся, или каков он). Результатом такого обучения может быть возмож­ность учащегося записать любое стандартное решение стандартной задачи и выбрать запись в соответствии с целью работы в каждой конкретной ситуации.

Педагогические ситуации. • 1. Учащимся предложили решить за­дачу: «У Лены было несколько значков. Когда она подарила 3 значка друзьям, у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?» Дима поднял руку, и учительница предложила ему записать решение на до­ске. Дима записал: «7 - 3 = 4. Ответ: у Лены было 7 значков». Учитель­ница не приняла это решение и долго добивалась, чтобы Дима записал решение «как положено»: 3 + 4 = 7. И была неправа. Дима решал задачу по-другому. Его рассуждения: «Лена значки отдала из тех, какие у нее были. Это обозначается вычитанием — из числа всех значков вычесть число тех, которые отдала. В результате получится число оставшихся. Из какого числа можно вычесть 3, чтобы получилось 4? Только из 7: 7 - 3 = 4. Никакое другое число не подойдет. Значит, у Лены было 7 значков». Запись Димы точно отражает этот способ решения.

Равенство 3 + 4 = 7 отражает другой способ рассуждений и реше­ния: «Чтобы узнать, сколько значков было у Лены, нужно вернуть ей те значки, которые она отдала. Объединив оставшиеся и отданные знач­ки, мы получим все значки». Запись Димы не принимается потому, что она нарушает негласное правило: в арифметическом решении искомое число обязательно должно быть записано справа от знака «=» и быть результатом действия, записанного слева от знака «=». Эта договорен­ность о записи упрощает считывание результата: результат всегда спра­ва от знака «равно», достаточно беглого взгляда, чтобы обнаружить искомое. Чтобы в записи Димы без его устных пояснений обнаружить искомое нужны письменные пояснения или знаки.

Имеем противоречие: чтобы запись соответствовала способу реше­ния, искомое число должно в числовом равенстве быть слева от зна­ка =; чтобы запись соответствовала правилам записи арифметического решения, то же число должно быть справа от знака «=».

• 2. На уроке искали и обсуждали разные способы решения задачи: «Было 6 серых голубей и 4 белых. 3 голубя улетели. Сколько голубей осталось?» Уже несколько способов было представлено на доске. Вита­лик тоже захотел показать свой способ, в котором, как он сказал, есть «нулевое действие». Он записал: «1) 6 - 3 = 3; 2) 4 + 3 = 7; 3) 7 - 0 = 7. Ответ: осталось 7 голубей».

Как вы думаете, что он хотел сказать этим действием? Правильно. Этим действием он сказал: «После того, как 3 голубя улетели, никто больше не улетал». Виталик это пояснил и все поняли. Учительница, Елена Дмитриевна Горбачева (г. Новосибирск. Гимназия 7 «Сибирская») похвалила: «Как здорово ты придумал: сказать арифметическим дей­ствием про то, что никто больше не улетал! Какая короткая запись этой информации!».

Действительно, математическая запись этой информации содер­жит всего 5 знаков, а самое короткое предложение на русском языке с той же информацией — 47 знаков! Более чем в 9 раз больше! Эта случайная ситуация на уроке ярко показывает роль математики в хра­нении и передаче информации.

В обеих ситуациях дети точно уловили смысл математических за­писей, правильно использовали запись, чтобы выразить свою мысль. И в обеих ситуациях нарушили нормативные правила записи. Первая учительница не поддержала ребенка, посеяла в нем недоверие к соб­ственным решениям. А ведь была уникальная возможность обнару­жить проблему — названное выше противоречие, предложить найти выход: найти форму записи, которая удовлетворяла бы обоим, про­тиворечащим друг другу требованиям. В ТРИЗ¹ есть замечательный метод разрешения противоречий: развести противоречивые условия во времени или (и) в пространстве. Применив последнее к нашей си­туации, получим: нужно сделать две записи в разных местах, напри­мер, одну под другой. В одной отразить способ решения, а в другой записать искомое число значков справа от знака «=». Запись может быть такой:? - 3 = 4,? = 7; или такой: □ - 3 = 4; или такой: х - 3 = 4, х = 7. Возможно, именно так были изобретены уравнения!?

Во второй ситуации дети приобрели опыт письменной матема­тической речи. В этом классе вопросы назначения записей обсуж­дались. А вдруг все начнут теперь писать в решениях «нулевые дей­ствия»? «Нулевое» действие ведь писать не принято! Дети это поняли

¹ ТРИЗ — теория решения изобретательских задач, разработанная Г. С. Аль-тшуллером и его последователями. (См., например: Поиск новых идей: от оза­рения к технологии / [Г. С.Альтшуллер, Б.Л.Злотин, и др.]. — Кишинев, 1989 [trizland.ru].)

и без запретов. Виталик и другие дети, несмотря на похвалу, не стали в записи решения каждой задачи добавлять его.

Нормативные или принятые формы записи складываются много лет. Чаще всего они задаются традициями, описываются в статьях и книгах. Существует несколько сложившихся форм записи арифме­тического, алгебраического решений текстовых сюжетных задач.

Основные формы записи арифметического решения текстовой задачи: • в виде выражения с записью шагов составления, поясне­ний и вычислений, и после вычислений итоговой записи равенства; • в виде выражения и равенства после вычислений без записей со­ставления выражения; • по действиям с пояснениями; по действиям без пояснений; по действиям с вопросами.

Задача. На первом складе хранится 375 т муки, на втором — на 27 т больше, а на третьем — на 5 т меньше, чем на втором. Сколько тонн муки на третьем складе?»¹ Решение.

I. 1) 27 - 5 — на столько тонн муки на третьем складе больше, чем на первом;

2) 375 + (27 - 5) — столько тонн муки на третьем складе;

3) 375 + (27 - 5) = 397 (т). Ответ: на третьем складе 397 т муки.

II. 1) на сколько тонн муки на третьем складе больше, чем на пер­вом?

27 - 5 = 22 (т); 2) сколько тонн муки на третьем складе? 375 + 22 = 397 (т).

Ответ: на третьем складе 397 т муки.

Основная форма записи алгебраического решения — запись ша­гов по составлению уравнения (неравенства), запись уравнения (не­равенства) и его решения. При решении задачи другими методами используются и соответствующие формы записи.

Обучение приемам проверки решения (табл. 5.5). Проверка решения задачи — это выполнение определенной последователь­ности операций для выяснения верен ли результат и ход решения, не содержит ли он логических и иных ошибок. Проверка тогда проверяет, когда проверяющие действия выполняются правильно. Следовательно, проверяющие действия должны быть освоены решающим не хуже, чем действия по решению задачи. Осущест­вляться проверка может с помощью действий, которые составляют приемы проверки.

Разные авторы применительно к проверке решения текстовых за­дач выделяют разное количество таких приемов. Обучение умению проверять решение — это обучение приемам проверки. В таблице выделено восемь приемов проверки Слова «проверка», «проверять»

¹ Александрова Э. И. Математика: Учебник для 2 кл. — Кн. 2. — М., 2001.

Таблица 5.5

Назначение Приемы выполнения Критерии владения

Установить, со-	1. Прогнозирование и оценка	Понимает назна-
ответствует ли	результата (прикидка и оцен-	чение и смысл
полученный ре-	ка).	проверки, выпол-
зультат содер-	2. Установление соответствия	няет операции
жанию задачи	результата содержанию зада-	приема, делает
и не содержит ли	чи.	обоснованные вы-
ход решения оши-	3. Определение смысла со-	воды о правиль-
бок: правильно ли	ставленных по задаче выра-	ности результата
проведены рассу-	жений.	и хода решения:
ждения; непроти-	4. Обоснование по ходу ре-	«Результат (ход)
воречивы ли они;	шения каждого его шага.	решения верен
отражают ли	5. Решение другим методом	(не верен), так
смыслы арифме-	или способом.	как …».
тических действий	6. Составление и решение
содержание зада-	обратной задачи.
чи; правильно ли	7. Сличение с правильным
выполнены дей-	решением — образцом хода и
ствия; все ли воз-	(или) результата.
можные результа-	8. Повторное решение тем же
ты найдены	методом и способом

могут появиться в словаре ребенка довольно рано. Взрослые могут употреблять эти слова в общении с ним: «проверь, все ли, что нужно для рисования, есть на столе», «проверь, правильно ли собрана моза­ика», «проверь, все ли мы взяли» и т. п. Дети, поступившие в первый класс, на интуитивном уровне понимают, что проверка — это когда смотрят, сделано или не сделано что-то, правильно или неправильно что-то сделано. Этого интуитивного понимания достаточно для того, чтобы с первых уроков включать детей в проверку выполнения ими решений самых разных задач.

Первые приемы проверки, которые могут использовать дети для проверки решений как текстовых, так и вычислительных задач — это решение другим методом, методом предметных действий. После на­копления опыта такой проверки проводят уроки, где понятие «про­верка решения задачи» будет предметом осознания и изучения.

Введение понятия «проверка решения задачи». Очень важно, чтобы первый разговор о проверке состоялся в ситуации, действи­тельно требующей проверки. Для ее создания можно предложить учащимся «провокационную» задачу, содержание которой таково и сформулирована она так, что многие дети, недостаточно внима­тельно определив отношения между данными, могут дать разные, неверные и верные, ее решения. Приведем пример такой задачи и ситуации.

Задача («провокационная»). За коробку конфет покупатель дал кас­сиру 100 р. и еще половину ее стоимости, оплатив тем самым покупку. Сколько стоила коробка конфет?».

Учащиеся почти всегда предлагают два решения (неправильные), иногда три разных решения с тремя разными результатами, из которых одно решение правильное, а два неправильных:

1) 100: 2 = 50; 100 + 50 = 150. Ответ: коробка стоила 150 р.;

2) 100 · 2 = 200; 200 + 100 = 300. Ответ: коробка стоила 300 р.;

3) 100 + 100 = 200. Ответ: Коробка стоила 200 р.

Возникает вопрос: как узнать, какое решение правильное? Что де­лать для этого? Необходимость проверки очевидна. Отвечая на эти во­просы, учащиеся приходят к выводу: нужно проверить каждое решение. Появляются и новые вопросы: «Что значит — проверить?», «Как про­верить?» Выслушиваем и обсуждаем мнения учащихся. Вспоминаем, проверяли ли мы что-нибудь раньше, как это делали. В процессе об­суждения учитель может предложить решить задачу другим методом, например с помощью предметной или геометрической модели, или проведя обосновывающие рассуждения по решению задачи, обраща­ясь к смыслам данной в задаче информации.

При решении рассматриваемой задачи с помощью геометрической модели обозначаем всю стоимость покупки произвольным отрезком. В задаче говорится о половине стоимости, поэтому делим его на две равные части — на две половины: одна половина это 100 р., а вторая половина тогда тоже 100 р.: половины — равные части. Получаем, что правильным является только третье решение: 100 + 100 = 200 (р.), ко­робка конфет стоила 200 р.

При логическом решении той же задачи рассуждаем так. Покупатель оплатил покупку двумя частями, одна из которых — половина. Но целое состоит из двух половин, значит, 100 р. — это тоже половина. Тогда и вторая половина тоже 100 р. и коробка конфет стоит 200 р.

После выявления правильного решения, анализируем неправиль­ные, устанавливаем ошибки, их причины. Чтобы от конкретной за­дачи перейти к общей проблеме проверки решения задач и к при­нятию учащимися учебной цели «научиться проверять решения за­дач», задаем вопросы и побуждаем детей задавать вопросы, подобные следующим: • Только ли при решении этой задачи нужна проверка? • Только ли такие приемы (способы) проверки, которые мы приме­нили для проверки данной задачи, существуют? • Надо ли уметь про­верять свое решение? • Как научиться проверять решение задачи?

Дальнейшее обучение заключается в выделении приемов проверки и специальном и мотивированном для учащихся изучении каждого приема: «Учимся проверять решение задачи с помощью определения смысла арифметических действий», «Учимся проверять решение за­дачи с помощью предметных действий (на геометрической модели; решая задачу другим способом, другим методом)», «Учимся прове-

рять решение задачи с помощью обоснования каждого шага реше­ния» и т.д. После принятия учащимися цели «научиться проверять решение с помощью …» полезно вместе с ними конструировать со­ответствующие учебные задания.

Основные виды заданий для овладения приемами проверки реше­ния задач: • проверка данных решений конкретной задачи в совмест­ной деятельности учителя и учащихся для выделения последователь­ности операций осваиваемого приема; • проверка готовых решений осваиваемым приемом проверки в групповой и самостоятельной ра­боте с последующим обсуждением результатов и способа проверки в группе или в классе; • выполнение отдельных операций конкретного приема проверки; • сравнение изучаемого приема проверки с ранее изученным, обсуждение его «плюсов» и «минусов»; • выбор приема проверки для заданного решения задачи; • проверка одного и того же решения с помощью двух приемов проверки, один из которых про­веряет результат решения, а другой — ход решения; • взаимопроверка решений задач; • самостоятельное решение задачи с обоснованием правильности решения с помощью подходящих приемов проверки.