Линеаризация уравнений движения

В общем случае, уравнения движения являются нелинейными.

Уравнение содержит входные и выходные сигналы.

Могут содержаться нелинейные функции от координат и произведения координат.

Общих методов решения нелинейных уравнений не существует, для упрощения проводят линеаризацию.

В основе линеаризации лежит разложение функции в ряд Тейлора и использования только первых членов разложения.

Учитываются только первые два члена ряда, т.е. пренебрегая элементами 2-го и более высокого порядка малости, имеем следующее приближенное равенство:

, , .

Коэффициент зависит от рабочей точки.

В случае функции одной переменной геометрически линеаризация представляет замену нелинейной зависимости линейной в окрестности рабочей точки.

Рисунок 3. 10. Графическая иллюстрация линеаризации

Применим эту идею для функции многих переменных. Пусть, например, неявная функция содержит вторую и первую производные выхода:

В качестве базового решения принимается статика и .Вычтем из этого уравнения уравнение статики , пренебрегаем элементами второго и более высокого порядка малости. В итоге останутся составляющие с приращениями:

,

где и - приращения (отклонения);

Далее, признак отклонения ∆ в записи уравнения можно опускать, но не нужно забывать, что речь идет о линеаризованном уравнении, справедливом для малых приращений.