Возможные ошибки при проверке статистических гипотез

Ошибка первого рода

Когда справедливая гипотеза отклоняется

Ошибка второго рода

Когда ложная гипотеза принимается

В качестве меры влияния принимаются дисперсии переменных Y, X и u

Знаем, что уравнение регрессии описывает поведение среднего значения эндогенной переменной:

Y* = a₀ + a₁x_t (11.3)

Тогда уравнение (11.1) можно записать как:

Y_t = Y*_t +u_t (11.4)

В качестве меры влияния принимаются дисперсии переменных Y, X и u

Знаем, что уравнение регрессии описывает поведение среднего значения эндогенной переменной:

Y* = a₀ + a₁x_t (11.3)

Тогда уравнение (11.1) можно записать как:

Y_t = Y*_t +u_t (11.4)

Вычислим дисперсию Y в уравнении (11.4)

Вычислим COV(Y_t^*,u_t):

Таким образом,

(11.5)

Здесь: TSS – общая сумма квадратов эндогенной переменной (Total sum of squares)

RSS – регрессионная сумма квадратов (Regression sum of squares

ESS – сумма квадратов остатков (ошибок) (Error sum of squares

С учетом принятых обозначений выражение (11.4) можно записать в виде:

TSS = RSS + ESS (11.5)

В качестве показателя степени влияния выбранного регрессора на поведение эндогенной переменной принимается отношение:

R² – называется коэффициентом детерминации

Если R² =1, т.е. RSS=TSS, a ESS=0, то такая модель называется «абсолютно хорошей»

Это означает, что выбранный регрессор полностью объясняет поведение эндогенной переменной.

Если R² =0, т.е. RSS=0, а ESS=TSS, то такую модель называют «абсолютно плохой»

В этом случае весь диапазон изменения эндогенной переменной объясняется влиянием случайного возмущения, а выбранный регрессор не оказывает влияния, не объясняет поведение эндогенной переменной

Отметим следующее:

R² – величина случайная, т.к. его конкретное значение вычисляется по результатам случайной выборки

Это означает, что полученное значение коэффициента детерминации отличное от нуля еще не является достаточным основанием считать модель качественной

Необходимо проверить статистическую гипотезу о не равенстве нулю R²: (H₀: R²>0)

Внимание! Формулируется гипотеза о не равенстве нулю R², т.е гипотеза о том, что модель не плохая

Для проверки гипотезы H₀: R²=0:

1. Формируем случайную величину с известным законом распределения

где: к - количество параметров в модели

n – количество наблюдений в выборке

Случайная величина F_Test подчиняется закону распределения вероятностей Фишера

Критическое значение зависит от уровня доверительной вероятности и двух параметров: k-1 и (n-k)

Для проверки гипотезы H₀: R²>0:

2. Вычисляется по данным выборки значение F_Test.

3. Находится по таблице значение F_кр(P_дов, k-1, n-k).

4. Сравниваются значения Fкр и F_Test.

Если F_Test > F_кр

то гипотеза H₀: R²>0 не отвергается

Значит модель имеет не плохое качество спецификации

Т.е. выбранный регрессор объясняет поведение эндогенной переменной.

Замечание. Значения R² и F_Test вычисляются функцией «ЛИНЕЙН» в EXCEL

Замечание. Значения коэффициента детерминации растет с увеличение числа регрессоров.

В случае модели в виде уравнения множественной регрессии применяется модифицированный коэффициент детерминации Ř²:

(11.9)

Здесь: R² - коэффициент детерминации в форме (11.6)

n – объем выборки

k – количество регрессоров в модели

Замечание. При анализе модели в виде уравнения множественной регрессии принятие гипотезы H₀: R²=0 означает, что все регрессоры не объясняют (не влияют) поведение эндогенной переменной

Отклонение гипотезы H₀: R²=0, означает, что не все регрессоры объясняют (влияют) поведение эндогенной переменной

Другими словами, в составе выбранных на этапе спецификации модели регрессоров есть как влияющие, так и не влияющие регрессоры

Вопрос. Как определить влияющие и не влияющие регрессоры?

Ответ. Необходимо проверить гипотезу H₀: a_i=0

Проверка статистической гипотезы H₀: a_i=0

Известно, что в схеме Гаусса-Маркова дробь (11.10) подчиняется закону распределения Стьюдента

где: ã_i – оценка i-го параметра модели

с – заданная константа

σ_ai-оценка стандартной ошибки оценки параметра

В данном случае с=0, т.е. сравнивается вычисленное значение оценки с нулем

Если гипотеза не отвергается для i-го регрессора, то этот регрессор не оказывает влияние на эндогенную переменную и его можно исключить из уравнения модели

Выводы:

1. Одним из показателей качества спецификации является коэффициент детерминации R²

2. Качество спецификации проверяется путем с помощью статистической гипотезы Н₀: R² >0

Если гипотеза Н₀ принимается – модель не плохая!

3. Критерий принятия решения – F_test

4. В моделях в виде множественной регрессии осуществляется проверка статистической гипотезы H₀: a_i=0

Если гипотеза Н₀ принимается, то регрессор хi следует исключить из модели как статистически незначимый!

5. При принятии гипотезы о некачественной спецификации необходимо вернуться к первому этапу построения модели