Опуклість, угнутість. Точки перегину

Нехай диференційована функція на інтервалі (а, b). Графік функції називається опуклим уверх або опуклим на інтервалі (а, b), якщо він розташований нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу. Графік функції називається угнутим униз або угнутим на інтервалі (а, b), якщо він розташований вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу.

Точка графіка функції, в якій графік (крива) змінює свою опуклість на угнутість і навпаки, називається точкою перегину.

Достатні умови опуклості (угнутості) графіка функції. Якщо функція двічі диференційована на інтервалі (а, в), тоді, якщо:

а) крива опукла;

б) крива угнута.

Якщо – абсциса точки перегину кривої то друга похідна дорівнює нулю, нескінченності або не існує (необхідна умова).

Точки, в яких нескінченності або не існує, називають критичними точками другого роду.

Достатня умова точки перегину: якщо при переході через критичну точку другого роду змінює знак, то ця точка є точкою перегину.

Схема повного дослідження функції і побудови графіка:

1) визначити область існування функції;

2) дослідити функцію на парність, непарність (симетрію графіка), періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) знайти точки розриву функції, якщо вони існують, і встановити їх характер;

5) знайти асимптоти графіка;

6) визначити інтервали зростання та спадання функції та екстремуми;

7) визначити інтервали опуклості та угнутості і точки перегину;