Четырехмерные векторы. Четырехмерные скорость и ускорение

Введем, прежде всего, четырехмерный радиус-вектор . Компоненты его на оси координат равны x, y, z, τ.

В общем случае четырехмерным вектором, кратко, 4-вектором, мы назовем вектор , имеющий проекции на оси координат , , , , которые при преобразованиях Лоренца преобразуются как компоненты вектора .

Пространственные компоненты:
Временная компонента:

При преобразовании остается неизменным квадрат вектора. Это легко показать непосредственным вычислением.

,
– пространственно подобный вектор, – времениподобный вектор.

Построим четырехмерный вектор скорости. Мы должны построить такой 4-вектор скорости, который образуется в виде производной от 4-радиуса-вектора по некоторому инварианту – скаляру. Выбор этого скаляра определяется тем, что при малых скоростях v << c пространственные компоненты 4-вектора скорости должны превратиться в компоненты обычной скорости.