Абсолютные величины в теории относительности. Скорость света, интервал и собственное время

Основная задача теории относительности состоит в нахождении абсолютных, не зависящих от выбора инерциальной системы отсчета законов природы, а также физических величин.

Займемся второй задачей. Первой из таких величин является универсальная скорость распространения взаимодействия в пустоте – скорость света с. Другой, также весьма важной инвариантной величиной, является так называемый интервал.

Пусть в точке пространства с координатами , , в момент времени происходит некоторое физическое явление, которое мы будем называть событием. В другой точке , , в момент времени происходит другое событие. Тогда интервалом между этими событиями называется величина

. (3.18)

Проверим инвариантность интервала относительно преобразований Лоренца. Имеем в системе О'

; .
Первые два слагаемых под корнем для

.

Следовательно .

Таким образом, утверждение: «два физических события разделены интервалом » имеет абсолютный характер. Оно справедливо во всех инерциальных системах отсчета.

Часто рассматривают интервал между двумя событиями, происходящими в близких точках через малое время. В этом случае

.

Величина интервала может быть как вещественной, так и мнимой, в зависимости от знака подкоренного выражения.

Рассмотрим случай вещественного интервала

.

В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета, в которой два события происходят в одном месте. Для этого необходимо, чтобы имело место условие

.
Вещественные интервалы получили название «времениподобных интервалов».

Если два события, в частности, происходят с одной и той же физической системой, то интервал между этими событиями имеет времениподобный характер. Действительно, за время между двумя последовательными событиями система может пройти путь , поскольку ее скорость всегда меньше скорости света.

Пример интервал между двумя событиями, представляющими последовательные показания одних и тех же часов.

Случай мнимого интервала .

Это пространственноподобный интервал, т.к. всегда можно найти такую систему отсчета, что

.

Покажем, что собственное время является инвариантной, абсолютной величиной.

Пусть дана инерциальная система отсчета О'. В некоторой точке , , происходят два последовательных события, разделенных промежутком времени . Время измеряется часами покоящимися в О'. – собственное время прошедшее между двумя событиями.

Интервал между ними

.
Таким образом, собственное время связано с интервалом соотношением и является инвариантом.

Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное и прямолинейное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат, которая (вместе с рассматриваемыми часами) будет являться тоже инерциальной системой отсчета.

Обозначим через показание (бесконечно малое) неподвижных часов, ‑ соответствующее показание движущихся часов. В силу инвариантности интервала

,
откуда

.
Или

(3.19)

где ‑ скорость движения часов.

Если по неподвижным часам пройдет время , то время по движущимся часам:

.

Инвариантность физических законов относительно преобразований Лоренца. Четырехмерная формулировка преобразований Лоренца

Все законы физики должны быть сформулированы таким образом, чтобы они оставались инвариантными относительно преобразований Лоренца. Соотношения, инвариантные относительно преобразований Лоренца, называют релятивистскими или Лоренц-инвариантными.

Уравнения механики, инвариантные относительно преобразований Галилея, не удовлетворяют требованию инвариантности относительно преобразований Лоренца и, следовательно, должны быть видоизменены. Наоборот, законы электродинамики – уравнения Максвелла уже с самого начала были сформулированы так, что они оказались релятивистски-инвариантными.

Требование инвариантности физических законов относительно некоторых преобразований систем координат не является специфической особенностью теории относительности. Хорошо известно, что требование инвариантности физических законов относительно поворота системы координат непосредственно связано с изотропией пространства.

Например, второй закон Ньютона в какой-то конкретной системе координат имеет вид:

. , .

При любом повороте системы координат проекции ускорения и силы преобразуются по одному и тому же закону, и в новой системе координат закон будет иметь такой же вид, как и в старой системе координат. Еще более очевидна инвариантность физического закона относительно поворота системы координат, если он записан в виде

,
где и – скаляры.

Итак, в классической физике законы записанные в виде

,

инвариантны относительно поворота системы координат.

Рассмотрим поворот системы координат вокруг оси z на угол j (рис. 3.5). Очевидно, координаты точки преобразуются по закону:

,

,

.

Рис. 3.5. Поворот системы координат вокруг оси z

Возвращаясь к теории относительности, введем четвертую координату , где – мнимая единица. Будем называть эту координату мнимым временем и будем считать x, y, z, τ ортогональными координатами в некотором воображаемом четырехмерном пространстве.

Очевидно, .

Преобразования Лоренца не изменяют – квадрат расстояния со знаком минус между двумя точками в четырехмерном пространстве.

Линейное преобразование, не изменяющее расстояние между двумя точками – это вращение.

Рассмотрим движение системы О' вдоль x и x'. При четырехмерной интерпретации это означает поворот в плоскости x, τ при неизменной ориентации осей y, z.

,

.

Возьмем начало О'

,

,

,

,

.

При этом

(3.20)

Если учесть, что и , то из (3.20) получим уже известные формулы преобразований Лоренца (3.9)

Для того, чтобы некоторое выражение было релятивистски-инвариантным оно должно иметь вид

,
где и ‑ скаляры, или

где , – четырехмерные векторы, имеющие четыре компоненты ().

Введение временной координаты имеет глубокий физический смысл. Оно указывает на неразрывную связь пространства и времени.

Вопросы и задачи к лекции 18

195-1. Выведите формулы преобразования скоростей Эйнштейна.

196-2. Покажите, что при ( ‑ скорость движения материальной точки) формулы преобразования скоростей Эйнштейна переходят в формулы преобразования скоростей Галилея.

197-3. Покажите, что скорость тела в пустоте является предельной скоростью движения тел.

198-4. Покажите несостоятельность принципа дальнодействия и правильность принципа близкодействия.

199-5. Какие инвариантные величины (скаляры) вы знаете?

200-6. Докажите инвариантность интервала.

201-7. Докажите инвариантность собственного времени.

202-8. В системе О интервал имеет выражение , причем . Как называется такой интервал? Найдите скорость движения системы вдоль х, чтобы в системе этот интервал имел выражение , т.е. был чисто временным.

203-9. В системе О интервал имеет выражение , причем и . Как называется такой интервал? Найдите скорость движения системы вдоль х, чтобы в системе этот интервал имел выражение , т.е. был чисто пространственным.

204-10. Что называется мнимым временем?

205-11. Выведите четырехмерную формулировку преобразований Лоренца.