Вопрос 1. Дискретная матричная модель воспроизводства населения

Воспроизводство населения – количественный процесс, характериз. изменением численности и половозрастного состава населения под влиянием процессов рождаемости, старения и смертности.

В шир. смысле – процесс изменения не только возрастных, но и соц. структур в результате естественного, социального и миграционного движения.

· Модель динамики половозрастного состава населения

–численность населения k-ого пола в 1-ой возрастной группе в момент времени ;

– вероятность рождения ребёнка k -ого пола у женщины возраста , - начало и конец фертильного периода

- сальдо миграции лиц k-ого пола в 1-ой возрастной группе в момент времени ;

-вероятность дожития лиц k-ого находящихся в -ой возрастной группе до следующей возрастной группы ( );

Матричная форма:

2M компонент 2M компонент

матрица параметров естественного движения. Её размерность

Таким образом, дискретная матричная модель воспроизводства населения имеет вид:

· Модель динамики соц состава населения

– вер-сть перехода из r в n группу.

Матричная форма:

N компонент N компонент

матрица параметров соц движения. Её размерность

Таким образом, дискретная матричная модель имеет вид:

· Модель динамики соц-половозрастного состава населения

Матричная форма:

2MN компонент 2MN компонент

матрица параметров ест движения. Её размерность

Здесь как для половозр, но с верхними индексами n

такая как , только в левой части нули везде, справа внизу вместо p тоже нули. Индексы верхние nr

матрица параметров соц движения. Её размерность

Здесь

Таким образом, дискретная матричная модель имеет вид:

Вопрос 2. Критерий выбора оптимальной стратегии в условиях полной неопределенности (игры с природой)

В экономических задачах часто выбор решения зависит от объективной действительности или окружающей экономической среды, которая в математических моделях называется «природой».

Математические модели таких ситуаций - «игры с природой». Отсутствует обдуманное противодействие со стороны противника природы.

Игрок А имеет m возможных стратегий, а природа П находится в одном из n состояний.

Матрица игры:

Ai\Пj	П1	…	Пn
A1	a11	…	а1n
…	…	…	…
Am	a1m	…	amn

Показатель благоприятности состояния П_j природы

.

Для характеристики удачливости игрока А вводится понятие риска:

.

Риск – это упущенная возможность получения максимального выигрыша .

Из (1) и (2) следует, что .

Для любой матрицы А можно составить матрицу рисков R_A.

Ai\Пj	П1	…	Пn
A1	r11	…	r1n
…	…	…	…
Am	r1m	…	rmn

Принятие решений в условиях полной неопределенности

Рассмотрим некоторые критерии принятия оптимальных решений, когда вероятности, с которыми природа может принять то или иное состояние, неизвестны.

Рассмотрим игру с m чистыми стратегиями и n состояниями природы П.

· Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма)

показателем эффективности стратегии A_i будет величина

,

т.е. минимальный выигрыш при применении игроком А стратегии A_i.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда будет стратегия с максимальным показателем эффективности

.

· Максимаксный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Показатель эффективности стратегии A_i по этому критерию – это максимальный выигрыш по этой стратегии

.

Оптимальной среди всех чистых стратегий является стратегия с максимальным выигрышем, т.е. стратегия, максимальный выигрыш при которой максимизируется

.

· Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрыша

Показателем эффективности стратегии A_i по Гурвицу является величина

.

Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным показателем эффективности

.

При λ = 0 получаем критерий Вальда, а если λ = 1 получаем максимаксный критерий.

· Критерий Сэвиджа (критерий крайнего пессимизма)

Показателем неэффективности по Сэвиджу является максимальный риск

.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Сэвиджа является стратегия A_i0 с минимальным показателем неэффективности.

.

· Миниминный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Показатель неэффективности стратегии A_i по этому критерию – минимальный риск.

.

Тогда оптимальная среди чистых стратегий по миниминному критерию является стратегия A_i, при которой минимальный риск минимален

.

Вопрос 3.Метод имитационного моделирования (МИМ) применительно к задачам систем управления запасами.

классическая модель управления запасами:

D – годовое потребление

Cп – стоимость единицы продукции (включает составляющие, зависящие от количества товара)

Co – составляющая расходов на поставку, которая не зависит от количества товара

Ch – годовые издержки хранения

q – объем партии товара (размер запаса)

T – период повторения заказа (время между поставками)

Задача – построить модель и оптимизировать ее.

Будем считать, что спрос равномерен.

- Формула оптимального размера заказа

- Число 2 мы можем не писать в формуле, если у нас зарезервированы места на складе

Но! Эта формула (Уилсона – Харриса) была выведена давно и не учитывалась временная стоимость денег. А мы учтем:

Рассматриваем метод Монте-Карло, моделируем модель управления запасами, хотим получить величину спроса на товар.

За год, зная годовое потребление (спрос), необходимо минимизировать затраты. Модель разыгрываем столько раз, пока не получим идеал.

Минусы: перебор (иногда может длиться очень долго).

Имитационное моделирование — это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Цель имитац. эксперимента: проверка выдвинутой гипотезы, оценка реакции моделируемой системы на то или иное воздействие, выявление влияния случайных возмущений на ход процесса и т.д. Далее строится модель, связывающая эндогенные переменные с ее управляющими и экзогенными переменными (напр.: в виде показателей, представленных временными трендами).

В узком смысле под ИМ понимают имитацию поведения системы путем воспроизведения взаимодействий ее элементов между собой и с внешней средой (метод Монте-Карло). Структура связей модели предполагается заданной. По сути это модели «черного ящика». Решения получаются в ходе эксперимента в виде конкретных количественных характеристик.

Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач, ответ на которые формируется в виде числа, а процесс решения основывается на моделировании, разыгрывании случайных величин.

Используется, когда необходимо определить, какое воздействие оказывает неопределенность исходных данных на поведение модели.

Суть:

Производим изделия. Для их производства необходимы детали, которые закупаются у поставщика. Спрос на детали оценивается от x1 до xn. Частота спроса на аккумуляторы показана в таблице – за несколько недель:

Спрос в неделю	Частота
х1	a1
…	…
хn	an

Начальный запас деталей составляет q шт.

Произв-ся подача заказов на партии деталей размером в c шт., когда их запас опускается ниже уровня в q0 шт.

интервал времен и между подачей заказа и осуществлением поставок в таблице:

Время поставки заказа, неделя
Вероятность	p1	p2	p3	p4

Единичная стоимость хранения запасов в неделю задана, рассчитывается для общего размера запаса, оставшегося на конец недели.

Стоимость заказа известна,

отсутствие деталей на складе оценивается в a руб./нед.

Задача: оценить средние издержки.