Действия над матрицами

1) Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

2) Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица , элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах.

Например,

В частном случае Ө=А, где Ө - нулевая матрица, той же размерности, что и матрица А.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами.

Коммутативность:

а) А+В=В+А;

б) λА=А·λ

Ассоциативность:

а) А+(В+С)=(А+В)+С

б) (λμ)А=λ(μА)

Дистрибутивность:

а) λ(А+В)=λА+λВ;

б) (λ+μ)А=λА+μА

Во всех этих свойствах А,В и С – произвольные матрицы размерности , λ, μ - произвольные числа.

3) Умножение матриц.

Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В.

Пусть , тогда

Элементы матрицы С вычисляются по формуле

То есть, для получения элемента , расположенного в i -й строке и j -м столбце матрицы С, надо элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Свойства умножения матриц.

а) Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева совпадает с матрицей А, т.е. АЕ=ЕА=А

б) Произведение матрицы А на нуль матрицу является нуль – матрицей.

в) Произведение матриц некоммутативно, то есть, вообще говоря, АВ≠ВА

г) Произведение матриц ассоциативно, то есть (АВ)С=А∙(ВС)

д) Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон, то есть (А+В)С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ.

е) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, то есть, если С=А∙В, то

ж) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, то есть из того, что А∙В=θ (θ -нулевая матрица), не следует, что А - нулевая матрица, или В – нулевая матрица.

з) Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, то есть

Замечание 1. Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. По определению полагают Можно показать, что

Замечание 2. Из равенства ещё не следует, что матрица А нулевая.

Свойства операции транспонирования (k-число).

1)

2) ,

3)

4)

4) Обратная матрица.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

(2.7)

Из определения следует, что только квадратная матрица может иметь обратную.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Обратную матрицу можно найти по формуле:

(2.8)

Где - определитель матрицы А, - присоединённая матрица к квадратной матрице А, которая определяется по формуле (2.6).

Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы.

1) Найти определитель исходной квадратной матрицы А. Если - не существует, если - невырожденная и для неё существует единственная обратная матрица .

2) Составить матрицу , транспонированную к А.

3) Найти алгебраические дополнения элементов определителя транспонированной матрицы и составить из них присоединенную матрицу .

4) Найти обратную матрицу по формуле (2.8).

5) Проверить правильность нахождения обратной матрицы , исходя из её определения ∙А=А∙ =Е.

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования:

а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

в) отбрасывание нулевой строки (столбца);

г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца), соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

д) транспонирование матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными, если от каждой из них можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований. Знак «~», поставленный между двумя матрицами означает, что переход от одной матрицы к другой производится при помощи элементарных преобразований.

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

1) Убедиться, что квадратная матрица А – невырожденная.

2) К данной матрице А приписать справа единичную матрицу того же порядка.

3) С помощью элементарных преобразований матрицы привести её к матрице вида , что всегда возможно, если матрица А невырожденная.

4) Матрица В = - обратная матрица для А.

5) Сделать проверку, исходя из определения обратной матрицы

Свойства обратной матрицы.

а) Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя данной матрицы.

б) Обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке: .

в) Обратная матрица от обратной для данной невырожденной матрицы А есть матрица А: .

г) Транспонированная обратная матрица равна обратной от транспонированной данной матрицы:

Обратная матрица позволяет найти решения матричных уравнений:

Решением этих уравнений являются соответственно матрицы если А и В имеют обратные матрицы.