Определители и их свойства

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в строках и столбцах. С помощью этих чисел по определенным правилам вычисляют некоторое число, которое называют определителем (детерминантом) -го порядка и обозначают следующим образом:

(2.1)

Числа называются элементами определителя (первый индекс означает номер строки, второй-номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; ).

Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы (то есть элементы ), называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

Определителем -го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой ! членов, каждый из которых – произведение его элементов, взятых только по одному из каждой из строк и из каждого из столбцов квадратной таблицы чисел, причем половина (определенных) членов берется с их знаками, а остальные – с противоположными.

Определитель первого порядка – это сам элемент то есть . Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом

, (2.2)

где - элементы определителя, а и - его члены, в каждом из которых два множителя. Равенство (2.2) показывает, что со своим знаком берется член, являющийся произведением элементов главной диагонали, а с противоположным – член, представляющий собой произведение элементов побочной диагонали.

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

(2.3)

Формула (2.3) показывает, что со своими знаками берутся члены, которые являются произведениями элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – члены, являющиеся произведениями элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны (правило треугольников).

Вычисления определителей четвертого и последующих порядков можно свести к вычислению определителей второго или третьего порядка. Это можно сделать с помощью свойств определителей.

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится при замене каждой строки столбцом с тем же самым номером.

2. От перестановки двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за символ определителя.

5. Определитель, в котором соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю.

6. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

7. Если все элементы некоторой строки (столбца) состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых элементами этой строки (столбца) являются первые слагаемые, во втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном определителе.

8. Значение определителя не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Следующее свойство связано с понятием минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель ( -1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе -го порядка строки и столбца, содержащих элемент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на :

Сформулируем свойство 9 определителей.

9. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, то есть

(2.4)

(2.5)

Равенства (2.4) и (2.5) называются соответственно разложениями определителя по элементам -й строки и -го столбца. Если в определителе порядка имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя -го порядка к вычислению единственного определителя порядка ( -1).

Если же в определителе -го порядка нет столбца (строки), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, используя свойство 8 определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.