Общее решение системы линейных уравнений

Неизвестное называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит с коэффициентом единица, а во всех остальных уравнениях системы неизвестное не содержится, то есть содержится с коэффициентом ноль. Система уравнений называется разрешенной, если каждое её уравнение содержит разрешенное неизвестное.

Если из каждого уравнения разрешенной системы уравнений выбрать по одному разрешенному неизвестному, то получим набор разрешенных неизвестных. Все неизвестные, не входящие в набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Общим решением совместной системы уравнений называется равносильная ей разрешенная система, в которой разрешенные неизвестные выражены через свободные. Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение данной системы, называемое частным. Придавая свободным неизвестным всевозможные числовые значения, можно получить все решения данной системы линейных уравнений. Среди бесконечного множества решений системы выделяют базисные решения.

Базисным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется решение, в котором все n-m свободных переменных равны нулю.

Общее решение системы уравнений можно получить с помощью формул Крамера или методом Гаусса (Жордана-Гаусса).

Построение общего решения с помощью формул Крамера:

1. Выяснить совместность данной системы уравнений, то есть выяснить, совпадают ли ранги основной матрицы и расширенной матрицы системы уравнений.

2. Найти один из миноров основной матрицы А системы уравнений, порядок которого равен рангу А.

3. Выписать все уравнения данной системы, которые содержат строки минора М. В этих уравнениях оставить в левых частях только те неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенести в правую часть.

4. Решить систему уравнений, полученную в пункте 3, по формулам Крамера.

Метод Гаусса состоит из ряда шагов. При выполнении очередного шага используют следующий алгоритм.

Построение общего решения методом Гаусса:

1. Проверить, имеется ли в системе противоречивое уравнение. Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего решения.

2. Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть.

3. Выяснить, является ли система уравнений разрешенной. Если она разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные неизвестные через свободные.

4. Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неизвестного. С помощью элементарных преобразований получить в этом уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить это неизвестное из остальных уравнений системы.

5. Выполнить следующий шаг, то есть перейти к выполнению пункта 1. Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений.