Геометрична інтерпретація ОЗЛП

Для кращого розуміння методів розв’язання задач, лінійного програмування, які розглядаються, наведемо приклад.

Приклад №3. Для наведеної на мал. 1 схеми мережі необхідно вибрати такі ємності конденсаторних батарей на стороні 10 і 0,4 кВ ТП, щоб при мінімумі капітальних вкладень виконувалися наступні вимоги:

а) за вимогою енергосистеми повинно бути скомпенcовано не менш 300 кВАр.

б) щоб відхилення напруги на лініях НН ТП не перевищували +5% повинно виконуватися умова.

в) оскільки трансформатор перевантажений на стороні 0,4 кВ ТП потуж­ність конденсаторних батарей повинна бути не менш 100 кВАр.

Вартість конденсаторних батарей:

Позначимо змінні:

Тоді цільову функцію запишемо у вигляді рівняння:

(6)

Обмеження запишуться у виді систем нерівностей:

(7)

Оскільки ЦФ (6) і обмеження (7) лінійні, задача може бути вирішена методами лінійного програмування.

На мал. 2 побудовані лінії (1,2,3), які відповідають обмеженням. Проведені до кожної з них нормалі вказують область рішень, яка допустима даними обмеженнями. Наявність замкнутого багатокутника допустимих рішень (усі нормалі обмежень спрямовані у середину багатокутника, обмеження 4 – умова невід’ємності змінних) говорить про те, що в даному випадку рішення існує.

Будується лінія, що визначає ЦФ.

(8)

У початковому положенні – у силу невід’ємності змінних (мінімальна ЦФ).

Щоб визначити екстремум, необхідно рухатися по нормалі (у напрямку найбільшого зростання ЦФ) до і будувати лінії паралельні лінії (8). Тоді перша вершина багатокутника допустимих рішень, якої торкнеться одна х паралельних ліній, буде визначати мінімум ЦФ, а остання – її максимум.

Відповідно до геометричних побудов, оптимальним є рішення:

Перевірки показують виконання обмежень, які накладаються. Значення ЦФ в оптимальній точці.

грн.

Аналіз результатів геометричної побудови дозволяє зробити висновки:

1. Рішення ОЗЛП, якщо воно існує, не може знаходитися всередині області допустимих рішень, а знаходиться тільки на її границі.

2. Рішення ОЗЛП може бути не єдиним. Якщо основна пряма F₀ паралельна стороні багатокутника допустимих рішень, де досягається мінімум ЦФ, тоді мінімум досягається не в точці, а на всій стороні багатокутника, тобто маємо нескінченну безліч рішень.

3. Оскільки рішення, яке мінімізує функцію F завжди досягається в одній в вершин багатокутника ОДР, то для його знаходження досить перебрати усі вершини ОДР і брати ту, в якій функція F обертається в мінімум.