Прямий класичний метод пошуку екстремуму цільової функції

Цей метод застосовується якщо ЦФ диференціюється та в задачі оптимізації відсутні обмеження.

1) Метод для функції з однією змінно:

Сутність методу – в точці екстремуму ЦФ її перша похідна дорівнює нулю.

Порядок дослідження:

а) знаходиться перша похідна ЦФ;

б) перша похідна ЦФ прирівнюється до нуля і знаходиться точка екстремуму;

в) точка екстремуму підставляється в ЦФ та знаходиться її екстремальне значення;

г) перевірка оптимальних екстремальних значень на max та min.

2) Метод для функції яка містить дві змінні

Сутність методу – в точці екстремуму ЦФ всі її частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю:

;

або не існують.

Порядок дослідження

а) для знаходження точки екстремуму складається система рівнянь зі знайдених частинних похідних першого порядку, які прирівняні до нуля:

б) Розв’язуючи систему (1) знаходимо точку екстремуму:

в) для дослідження точки екстремуму на max або min, складаємо визначник з частинних похідних другого порядку і перевіряємо його знак:

1) Якщо визначник більше нуля (Δ>0), то екстремум існує;

2) Якщо визначник менше нуля (Δ<0), то екстремум не існує;

3) Якщо визначник дорівнює нулю(Δ=0), то потрібні додаткові дослідження.

Якщо А та С <0, то екстремум є mах

Якщо А та С >0, то екстремум є mіn.

Приклад 1. Для схеми, наведеної нижче, вибрати оптимальну потужність конденсаторних батарей (КБ), яка буде забезпечувати мінімум (min) зведених річних витрат. Прийняти вартість компенсації 1 кВАр на стороні НН (низької напруги) ТП.

К_о =11 грн/кВАр,

сумарні щорічні відрахування для КБ Е =0,22, вартість 1кВт втрат прийняти

С_о =70 грн/кВт

Втрати враховувати в лініях, трансформаторах, конденсаторах. Питомі витрати в конденсаторах:

Δ Р_уд =0.0045 кВт/кВАр

Інші дані:

Рішення:

Загальний вид цільової функції:

,

де Δ Р_∑ - сумарні втрати електроенергії;

К – вартість конденсаторної установки, К=К_о·Q_∑;

Е – нормативний коефіцієнт відрахувань.

Знаходимо частинні похідні та прирівнюємо їх до нуля.

Складаємо систему двох рівнянь:

Розв’язання системи рівнянь дає оптимальне значення потужностей КБ, тобто:

Ці значення забезпечують екстремум функції зведених витрат. Визначивши знак других похідних ∂² F /∂ Q ², ми переконуємось, що зведені витрати оптимальні, в даній точці (мінімальні).