Порівняння методів лінійного пошуку без обчислення похідної

Для фіксованих значень (b₁-c₁) / ℓ - найменше число потрібних обчислювань функції відповідає більш ефективному алгоритму.

З цієї точки зору найбільш ефективним алгоритмом є метод Фібоначі, далі золотого перерізу, дихотомічний пошук.

Для достатньо великої кількості обчислень функції n методи Фібоначі та золотого перерізу майже ідентичні.

Приклад: В результаті розрахунку отримана залежність приведених річних витрат Зі від перерізу кабелю Si

Si,мм
Зі,тис.грн/рік

За розміщенням точок на площині помітно, імовірно достатньо точно задану функцію можна апроксимувати багаточленом другого ступеню:

Застосувавши МНК (метод найменших квадратів) отримуємо апроксимуючий поліном:

Знаходимо середньоквадратичну помилку, яка допускається при обчисленні приведених річних затрат за допомогою апроксимуючого полінома:

Витрати тис.грн./рік
Зі
З
ε	-4	+1	+1	+13	+4	+2	-20	-28	-16	+30

Отримане наближення досить добре, тому що складає 5% від середньоквадратичного значення табличнозаданої функції.

Для знаходження точки екстремуму продиференціюємо отриманий поліном та прирівняємо похідну до нуля (прямий класичний метод пошуку екстремуму ЦФ):

З економічних міркувань в межах 10% похибки для значень річних витрат доцільно узяти Sекстр як найменше допустиме значення аргументу, тобто:

Sекстр. = Sе.д. (економічно доцільне)

Тому по знайденному Sе.д. =75мм² знаходимо:

.

Визначаємо допустиму абсолютну похибку для функції:

.

Складем рівняння:

Корні цього рівняння є абсцисами точок перетину кривої годових затрат та прямої:

Таким чином, в цьому випадку буде знайдена точка , де S₁,S₂ – корні отриманого квадратного рівняння.

Тобто

Остаточно приймаємо: S_{е.д .} = 38мм² або стандартне S_{е.д .} = 35мм².

7.4. Питання для самоконтролю:

1. Якими одновимірними методами можна знайти точку екстремуму?

2. В чому сутність прямого класичного методу?

3. В чому сутність дихотомічного пошуку?

4. В чому сутність методу золотого перерізу?

Лекція №8