Мал.1,в

Раніше було показано, що будь-яка система лінійних рівнянь може бути зображена в математичному вигляді. Тому (1) буде мати наступний вид:

-	-
		-			-
			-	-

-

-

-

Або в більш компактному вигляді:

(2)

-	-
		-			-
			-	-

в у з л и

=; =; М₂=

гілки

Тут I – вектор струмів у гілках; I - вектор задаючих струмів в вузлах; M- матриця з'єднань гілок в вузлах.

Вираз (2) являє собою перший закон Кірхгофа в матричній формі.

Матрицю М, яку часто називають першою матрицею з'єднань (інциденцій) схеми мережі, може бути записана безпосередньо із графа схеми заміщення (мал.1,в). При цьому користуються наступним правилом:

На перетині i–го рядка, який відповідає i –му вузлу, та j –го стовпця, який відповідає j –й гілці, ставиться:

I, якщо j –а гілка спрямована від i –го вузла (j –й струм витікає з i –го вузла);

-I, якщо j –а гілка спрямована в i – й вузол (j –й струм втікає в i –й вузол);

0, якщо j –а гілка не з'єднана з i – м вузлом.

Очевидно, що в кожному стовпці матриці М може бути тільки одна негативна і одна позитивна одиниця. Решта елементів є нулі.

Як відомо, для електричного ланцюга, який містить m вузлів, можна скласти (m-1) взаємно незалежних рівнянь виду (1), тобто один з вузлів можна не розглядати. Цей вузол називається балансуючим (БВ). При представлені системи рівнянь у виді (2) в матриці з'єднань М повинен бути викреслений рядок, який відповідає БВ.

Виберемо в схемі (мал.1) вузол 1 в якості балансуючого. Це відповідає виключенню першого рівняння з системи (1), а в системі (2) повинен бути викреслений перший рядок у матриці М.

Кількість невідомих струмів гілок в рівняннях (1) дорівнює кількості гілок (n=6), тобто на два більше числа рівнянь (рівняння відповідне БВ, виключене з розгляду). Для отримання двох відсутніх рівнянь скористаємося другим законом Кірхгофа.

Схема, що розглядається, містить три контури, утворені гілками 1-2-3, 3-5-4, 1-2-5-4. Запишемо рівняння другого закону Кірхгофа для зазначених контурів:

(3)

Отримані рівняння, так само як і рівняння (1), не є взаємно незалежними. Підсумовуючи будь-які два рівняння системи (3) можна отримати третє. (Пропонується переконатися в цьому самостійно).

Для схеми, що містить n галузей та m вузлів, кількість взаємно незалежних рівнянь другого закону Кірхгофа або кількість незалежних контурів

K=n–m+1.

У випадку, який розглядається K=6-5+1=2. В якості незалежних обираємо контури I і II, позитивний напрямок обходу яких зазначений на мал.1,в.

Використовуючи рівняння закону Ома, перепишемо систему (3) для обраних незалежних контурів:

В матричному виді остання система рівнянь прийме вигляд:

	-	-
			-

Z1
	Z2
		Z3
			Z4
				Z5
					Z6

	-	-
			-

=

В більш компактному вигляді:

	-	-
			-

де

N= - матриця з`єднання гілок

в незалежні контури

Z1
	Z2
		Z3
			Z4
				Z5
					Z6

- діагональна матриця опору гілок

Z_г=

- вектор ЕРС в гілках

Е=

Вираз (5) зображує другий закон Кірхгофа в матричній формі.

Матриця N, яку називають другою матрицею з'єднань (інциденцій) схеми мережі, із графа схеми визначається таким чином:

n_ij =-I, якщо j – а гілка входить в i–й контур та їх напрямки протилежні;

n_ij = I, якщо j – а гілка входить в i–й контур та їх напрямки співпадають;

n_ij = 0, якщо j – а гілка не входить в i–й контур.

У виразі другого закону Кірхгофа (5) часто вводять позначення:

E_k=NE

де E_k – вектор контурних ЕРС, який представляє собою алгебраїчну суму ЕРС гілок, що входять в кожен незалежний контур.

Поєднуючи матричні рівняння (2) та (5) в загальну систему, отримуємо узагальнене рівняння стану електричного ланцюга.