Примеры решения задач. Пример 5.1. Получен кредит сроком на 2 года под 16% годовых

Пример 5.1. Получен кредит сроком на 2 года под 16% годовых. Проценты простые (сложные), и комиссионные составляют q = 1% от суммы кредита. Требуется определить эффективную процентную ставку доходности а) как ставку простых процентов, б) как ставку сложных процентов

Решение:

а) наращенная сумма кредита для кредитора:

FV = PV*(1 + i) ⁿ

Клиент получит сумму FV ₁ = PV*( 1 - q), и наращенная сумма кредита для клиента будет:

FV=PV*( 1 -q)*(1+ n*i_эф.пPV),

Отсюда:

б) наращенная сумма кредита:

в) если кредит получен под сложные проценты, то наращенная сумма кредита будет:

Определим срок кредита и процентную ставку для случая сложных процентов.

Исходя из формулы 3.3 для срока ссуды п, имеем

Необходимая номинальная процентная ставка

Пример 5.2. Клиент внес в банк 1000$ на 2 года. Процентная ставка банка - 14%. Налог на проценты - 5%. Требуется определить сумму налога и наращенную сумму в случае: а) простых процентов, б) сложных процентов, в) сложных процентов при ежемесячном начислении.

Решение:

a) простые проценты:

Сумма налога рассчитывается по формуле:

H₁= 1000*2 *0,14*0,05=14 $,

FV₁= 1000*[1 +2*0,14*(1-0,05)]= 1456$;

б) сложные проценты:

Сумма налога рассчитывается по формуле:

Н ₂ = 1000*[(1 + 0,14)² - 1 ]*0,05 = 14.98$,

FV ₂ = 1000*[(1 + 0.14)² (1 - 0,05) + 0,05] = 1284,12 $;

в)сложные проценты при ежемесячном начислении:

Сумма налога рассчитывается по формуле:

H₃= 1000* [(1 +0,14/12)^12*2-1]*0,05=16,05$,

FV₃= 1000*[(1 +0,14/12)^12*2(1 -0,05)+0,05]= 1304,9$.

Пример 5.3. Месячные уровни инфляции 3%. Какой процент за годовой кредит должна взять финансовая компания, чтобы обеспечить доходность не менее 24%? Проценты сложные ч начисляются ежемесячно.

Преобразовав формулу 3.7, можно вывести формулу расчета наращенной суммы с учетом инфляции и начислении процентов по процентной ставке j:

где j_h – номинальная процентная ставка, учитывающая уровень инфляции.

Отсюда

j_h= ((l +0,24/12)(1 + 0,03)- l)l2= 0,6072

Ответ:J_h=60%

Задачи

1. Ссуда в размере 180 000 грн. была выдана на приобретение предприятием оборудования на 3 года и 4 месяца. Контрактом предусмотрено изменение ставки процента в зависимости от темпа инфляции. Базовая процентная ставка составляет 20% сложных годовых. Во втором году инфляция составила 12,5%, в третьем – 15%, в четвертом – 15,5%. Определить сумму погашающего платежа.

1. Коммерческий банк привлек депозит в сумме 17 000 грн. на 4 месяца под 25% годовых на условии корректировки депозитной ставки процента на инфляцию. За данный период цены выросли в 1,11 раза – в течение первого, второго, третьего месяцев, в четвертом месяце – на 9%. Определить:

а) ставку процента, учитывающую инфляцию;

б) наращенную сумму, полученную клиентом по истечении срока депозита;

в) сумму, которую реально получил вкладчик, если бы договором не предусматривалась корректировка депозитной ставки.

1. Коммерческий банк учел вексель за 110 дней до погашения по сложной учетной ставке 12% годовых. Вексель выдан в сумме 100 000 грн. на срок 6 месяцев. Определить сумму, которую банк заплатил в данной операции.

1. В результате учета векселя в сумме 150 000 грн., выданного на срок 3 года банк выплатил клиенту сумму 80 000 грн. Учетная ставка составила 32 % сложных годовых. Определить срок наступления платежа по векселю.

1. Определить номинальный учетный процент, по которому был учтен вексель номиналом 50000 грн. и сроком погашения 90 дней, если векселедержатель получил 48000 грн. Начисление процентов ежемесячное.

1. Владелец векселя учел его в банке за 3 месяца до срока погашения и получил 16000 грн. Номинальный учетный процент банка – 0,12. Проценты сложные и начисляются ежемесячно. Определить номинальную стоимость векселя.

1. Клиент вложил в банк 100 000 грн. Какая сумма будет на счете этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке а) j₃₆₀ = 5%, б) j¥=5%?

1. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j_¥= 17%, чтобы через 10 лет на счете было 50 000 грн.

1. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в первом году- 12%, во втором - 18%, в третьем и четвертом гг. - 24%. Какая сумма будет на счете 31 декабря четвертого года, если 1 января первого года на этот счёт было положено 30000 грн.?

1. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 16% и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?

1. Клиент внес на депозит 4000 грн. сроком на 3 месяца под процентную ставку 12% годовых. Сумма, получения клиентом после окончания срока – 4400 грн. Определите процентную ставку налога на доход, если проценты начисляются:

а) простые;

б) сложные.

1. Определите доход клиента и налоговые деньги по срочному депозиту в 8 тыс. грн. на 6 месяцев с номинальной процентной ставкой 48% годовых, если процентная ставка налога 20%. Начисление процентов производится: а) поквартально, б) ежемесячно.

13. Три векселя номинальной стоимостью 30 тыс.грн. 50 и 80 тыс. грн. со сроками погашения 210, 240 и 270 дней объединяются в один номинальной стоимостью 180 тыс. грн. Объединение происходит по годовой ставке сложных процентов – 22 %. Найдите срок погашения объеденного процента.

ТЕМА 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И ПЛАТЕЖЕЙ

Практическое занятие 6. Эквивалентность процентных ставок и платежей

Цель: Научиться составлять уравнения эквивалентности для определения ставок и параметров финансовых операций.

Современная стоимость денег – понятие относительное и зависит от выбранного современного момента времени.

В зависимости от выбранного современного момента времени современная ценность определяется с помощью операции дисконтирования или наращения, или не требует никаких математических операций.

В финансовой практике возникают ситуации, которые требуют изменения порядка начисления процентов. Для безубыточности операций определяются эквивалентные процентные ставки.

Эквивалентные процентные ставки – это ставки, которые обеспечивают равноценность финансовых последствий при различных вариантах осуществления операций.

Уравнение эквивалентности заключается в приравнивании соответствующего множителя наращения или дисконтирования для различных вариантов начисления процентов.

Ставка сложных процентов, эквивалентная ставке простых процентов рассчитывается по формуле

где i_n – простая процентная ставка

i_c – сложная процентная ставка

Уравнение эквивалентности основывается на равенстве платежей по первоначальным условиям, приведённым к некоторому моменту времени, платежам по новым условиям, приведённым к этому же моменту.

Два варианта изменения условий:

1. Совокупность платежей заменяется одним новым платежом

Здесь возможно два варианта. При известном сроке объединённого платежа определяем сумму этого платежа. При расчётах по простым процентам уравнение эквивалентности будет следующего вида:

где R₀ – сумма объединенного платежа,

n_k, R_k – сумма платежей в соответствующие моменты времени, сроки выплат которых раньше срока R₀;

n_t, Rt – платежи и сроки этих платежей, если они осуществляются позже нового срока n₀.

При расчётах по сложным процентам уравнение эквивалентности имеет вид:

Для определения срока объединенного платежа по простым процентам составляется уравнение эквивалентности;

где РV₀ – современная стоимость всех платежей по первоначальным условиям на нулевой момент времени.

Уравнение эквивалентности при расчётах по сложным процентам:

Изменение условий контрактов может предусматривать изменение суммы и сроков платежей в любом согласованном порядке. Для определения параметров по новым условиям необходимо выбрать современный момент времени, которым может быть любая дата поступления денежных средств по новым, либо по старым вариантам и составить уравнение эквивалентности, к которому приравнять все платежи по новым условиям, приведённым к этому моменту времени, к платежам по первоначальным условиям, приведённым к этому же моменту времени.

Уравнение эквивалентности при расчётах по сложным процентам можно записать так:

где

R_k – платежи по первоначальным условиям в соответствующий момент времени, t_k

Q₁ – платежи по новым условиям в соответствующий момент времени, t₁

Вопросы для обсуждения:

- понятие современной ценности денег;

- понятие эквивалентности процентных ставок;

- изменение условий контрактов;

- расчет параметров операций при изменении условий контрактов;

- консолидация платежей.

Задачи

- Коммерческий банк предлагает следующий простые депозитные ставки:

а) 15% при сроке вклада от 1 месяц;

б) 17% при сроке вклада 3 месяца;

в) 19% при сроке вклада 6 месяцев.

Рассчитать эквивалентную данным простым ставкам ставку сложных процентов.

- Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учётной ставке d_n= 6%. Какую сложную учётную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изме­нился?

- Банк учитывает вексель по учётной ставке f₃ = 8% и желает перейти к сложной учётной ставке d_c. Какой величины должна быть ставка d_c, чтобы доход банка не изменился?

- Определить ставку сложных процентов i_c, эквивалентную ставке а) j₂= 10%, б) j₆= 10%, в) j₁₂ = 10%, г) j¥ = 10%.

- «Приорбанк» предлагал населению денежный вклад, доход по которому за первые 2 месяца 7% годовых, за следующие 2 месяца – 8, за 5 месяцев – 9, за 6 месяцев – 10% годовых. Определите эффективную процентную ставку при замещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное.

- Реклама одного коммерческого банка предлагает 18% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 20% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада – 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

- Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 14%; б) номинальная процентная ставка – 16% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; в) номинальная процентная ставка – 15%, начисление процентов поквартальное; г) номинальная процентная ставка – 15,5%, начисление процентов ежемесячное.

- Клиент разместил вклад в 10 тыс. грн. на депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное под номинальную процентную ставку 16% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку.

- Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 14% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную. Процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно.

Указание: j_эф = (m(1+ j/m)/(1 – q) ^1/mn) - m

- Определите номинальную эффективную ставку простых и сложных процентов для депозита сроком на 4 месяца, если номинальная процентная ставка банка 18%, процентная ставка налога 15%. Банк производит начисление процентов ежемесячно.

Указание: [ (1+ j/m) ^mn - 1] (1 – r) = (1+ j_эф/m) ^mn – 1

Нужно выразить j_эф.

- Какова современная ценность 10000 грн., если а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев, б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад, в) эта сумма получена в настоящий момент времени?

Стоимость денег - 8% (то есть на деньги, находящиеся в обо­роте, начисляются 8% годовых (сложных)).

- Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j₄ = 6%. Какова современная ценность суммы денег в 25 000 грн., которая а) была вложена в этот банк 5 лет 4 месяца тому назад, б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев?

- Г-н Сидоров положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i = 5% (сложных) сумму 12000 грн. Через 1 год 6 месяцев он снял со счёта 4500 грн., а ещё через 2 года положил на свой счёт 2 000 грн. После этого, через 3 года 6 месяцев он закрыл счёт. Какую сумму он получил?

- Г-н Иванов положил 3 года назад 5 000 грн. в банк, выплачивающий проценты по ставке j₂= 8%. Год назад он положил ещё 2 000 грн., а через 3 года 6 месяцев после этого снял со счёта 3 500 грн. Ещё через 6 месяцев он желает положить на свой счёт такую сумму, чтобы ещё через год на счете было 10 000 грн. Какую сумму он должен положить на свой счёт в последний раз?

- Г-н Фёдоров положил в банк некоторую сумму. Через 2 года он положил на свой счёт такую же сумму, а ещё через 1 год 6 месяцев - снова такую же сумму. Через 2 года 6 месяцев после этого на его счету было 25 000 грн. Какую сумму вносил в банк г-н Фёдоров каждый раз, если банк начисляет на вло­женные деньги проценты по годовой ставке i - 5%(сложных)?

- Фермер взял в банке кредит на сумму 5 тыс. грн. под 8% годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 тыс. грн., а ещё через год взял кредит в сумме 2 тыс. грн. Через 2 года после этого фермер вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?

- Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий про­центы по ставке j₄ = 10%, чтобы иметь возможность снять со счёта 20 000 грн. через 1 год 6 месяцев и ещё 30 000 грн. через 1 год 6 месяцев после этого?

- Строительный комбинат продаёт коттеджи стоимостью 80 тыс. грн., предоставляя покупателям кредит под 12% годовых (слож­ных). Господин Иванов приобрёл коттедж. Он выплатил 20 тыс. грн. через 3 месяца после покупки, 30 тыс. грн. - ещё через 6 месяцев, 10 тыс. грн. - в конце первого года с момента покупки и погасил весь долг через 1.5 года с момента покупки. Какую сумму составил последний платёж?

- Г-н Сидоров тоже приобрёл коттедж у строительного комби­ната из упражнения 18, обязавшись выплатить долг в течение трёх лет равными уплатами по полугодиям (первая уплата - через полгода от момента покупки). Чему равна каждая уплата?

- Г-н Иванов должен уплатить г-ну Смирнову 20000 грн. 1 ян­варя настоящего года. Деньги даны под 15% годовых (сложных). Какую сумму должен уплатить г-н Иванов, если он вернёт долг а) 1 июля предыдущего года, б) 1 июля следующего года, в) 1 января настоящего года?

- Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 3,5 тыс.грн. через 2 месяца после покупки, 3 тыс. грн.- ещё через 2 месяца и 5,2 тыс.грн. - ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платёж, если на деньги начисляется 8% годовых?

- Покупатель из предыдущего упражнения желает выплатить весь долг одним платежом, равным 12 тыс. грн. В какой срок, считая с момента покупки, он должен это сделать?

- Покупатель из упражнения 21 желает выплатить долг двумя равными уплатами через 3 и через 6 месяцев после покупки. Какова должна быть величина каждой из этих уплат?

- Г-н А должен уплатить г-ну Б три раза по 25000 грн. через каждые полтора года от настоящего момента. Г-н А предло­жил заплатить 30000 грн. через 2 года, а остальное - ещё через 2 года. Какую сумму он должен уплатить в последний раз, если деньги стоят 9% годовых (сложных)?

ТЕМА5. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Практическое занятие 7. Наращение аннуитетов (финансовой ренты)

Цель: Изучить теоретические основы и получить практические навыки по расчетам параметров финансовых рент с использованием наращенной суммы

Наращенная сумма ренты - это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока аннуитета.

или

Для упрощения расчетов разработаны специальные формулы с использованием коэффициентов наращения финансовых рент (Приложение Д)

Множитель наращения обозначается FVIFA _{i, n} или FVIFA _{j/m, n*m} от англ. Future Value Interest Factor of Annuity.

;

Расчет наращенной суммы p - срочной ренты производится по формуле:

где PFVIFA_1/p,I – коэффициент наращения p-срочной ренты

Расчёт наращенной суммы финансовой ренты с периодом больше года проводится с помощью формулы:

Ренты с начислением процентов m раз в год (по ставке j/m)

Расчет наращенной суммы годовой финансовой ренты:

Расчет наращенной суммы p - срочной ренты:

Частный случай p-срочной ренты при p=m:

Расчет наращенной суммы финансовой ренты с периодом больше года:

Ренты с непрерывным начислением процентов.

Расчет наращенной суммы годовой финансовой ренты производится по формуле:

Расчет наращенной суммы p - срочной ренты производится по формуле:

Расчет наращенной суммы финансовой ренты с периодом больше года проводится с использованием формулы:

Примеры решения задач

Пример 7.1 На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года вносятся суммы в размере 500 грн., на которые будут начисляться проценты по ставке 12 % годовых. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

FV = =

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами (приложение Г), содержащими коэффициенты наращения ренты

FV=A * FVIFA _{i, n} =500*6,3528=3176,42 (грн)

Сумма взносов в течении 5 лет составит:

R=n*A=2500 (грн.)

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I=FV-R=3176,42-2500=676,42 (грн.)

Ответ: 676,42 (грн.)