Изменение предельной производительности ресурса

Напомним основные определения и понятия.

Пусть в производстве продукции используется несколько видов сырья. Однако затраты всех ресурсов строго регламентированы технологией производства. Только один ресурс (например, затраты труда) может изменяться, оказывая влияние на объем производства. Зависимость выпуска продукции от затрат этого специфического ресурса описывается формулой

.

Скорость изменения этой функции выражается ее производной и называется предельной производительностью ресурса. Если речь идет о затратах труда, то - предельная производительность труда. Значение меняется в зависимости от , т.е. речь идет о новой функции аргумента , а именно о

.

Естественно, возникает вопрос: какова скорость изменения ? Скорость изменения любой функции описывается ее производной. Если функция дифференцируема, то существует

.

Скорость изменения предельной производительности ресурса называется темпом изменения выпуска при изменении затрат этого ресурса.

Аналогично определяется темп изменения спроса от цены d"(p), где d – спрос на продукцию, р – цена продукции.

Пример 13. Если формула

выражает зависимость спроса на товар от цены на него, то

- скорость изменения спроса, или предельный спрос.

Спрос является убывающей функцией цены, т.к. при любом значении . Темп изменения спроса

.

Другими словами, спрос убывает с нарастающей скоростью. Чем больше цена, тем быстрее уменьшается спрос на товар. Если , то .

Определение. Монотонная функция возрастает (убывает) на все быстрее, если скорость ее изменения является возрастающей функцией. Если же скорость изменения функции убывает на , то говорят, что функция возрастает (убывает) на все медленнее.

Очевидна, справедлива следующая

Теорема. Для того, чтобы функция , имеющая на промежутке первую и вторую производные, возрастала (убывала) на нем все быстрее, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия для всех .

Пример 14. Предположим, что на предприятии издержки производства вычисляются по формуле

.

Предельные издержки

положительны при любом объеме производства . Это следует из того, что дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент 1 положителен. Такой трехчлен может принимать только положительные значения.

Вычислим . Легко установить, что , если , и при . Следовательно, если выпуск продукции не превышает 5усл.ед., то издержки производства возрастают все медленнее. Если же , то издержки растут все быстрее.