Лекция 2. Экономический смысл производной и некоторых теорем дифференциального исчисления

Пусть функция выражает количество произведенной продукции за время . Необходимо найти производительность труда в момент времени .

За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна . Очевидно, что производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е. равна

.

Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Производная логарифмической функции называется логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

Пример 7. Объем продукции , произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Производительность труда выражается производной

,

а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной

В заданные моменты времени соответственно имеем:

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Обозначим через объем производства некоторой продукции, через - суммарные затраты или издержки производства. Производственная функция (функция затрат) описывает зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции:

.

Если объем производства увеличится на единиц, то затраты возрастут на единиц.

Среднее приращение издержек выражается отношением .

Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

. (1)

Предел (1) выражает дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет единиц.

Экономический смысл производной в данной точке: производная выражает предельные издержки производства при данном объеме и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Пример 8. Допустим, функция затрат имеет вид:

.

Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска .

Решение. , тогда .

Видим, что и, вообще, , если . То есть с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты на следующую за -овой малую единицу выпуска) убывают.

Увеличение выпуска на малую единицу требует все меньших дополнительных затрат.

Пример 9. Пусть зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой . Определим скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1 ден.ед., 4 ден. ед.

Решение. Скорость изменения любой функции равна ее производной. В данном случае

.

Отсюда .

Знак “минус” показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает.

Экономический смысл теоремы Ферма

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.