Приступим к построению этого показателя. Пусть аргумент функции получил приращение . Тогда значение функции изменится на величину

.

Приращения называют абсолютными приращениями аргумента и функции соответственно. Составим относительные приращения переменных и выразим их в процентах.

Величина указывает, на сколько процентов изменилось значение аргумента, а дает соответствующее изменение значения функции.

Отношение показывает, на сколько процентов в среднем меняется (увеличивается или уменьшается) значение функции, когда значение аргумента возрастает на 1% (увеличивается от до ).

Это отношение будет характеризовать поведение функции в данной точке тем точнее, чем меньше . Пусть неограниченно убывает. Вычислим предел указанного отношения при условии .

(3)

Отношение не зависит от изменения . Оно играет роль постоянной и может быть вынесено за знак предела.

Определение. Предел отношения относительного приращения функции к соответствующему относительному приращению аргумента при условии, что абсолютное приращение аргумента стремится к нулю, называется эластичностью функции по переменной и обозначается символом

(4)

Если функция дифференцируема в точке , то

и формула (4) принимает вид

или

(5)

Из (3) следует, что эластичность показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении независимой переменной на 1% (с до ).

Формулу (5) можно переписать в виде

Это означает, что для функции выпуска эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности.

Пример 17.

Эластичность данной функции вычисляется по формуле

При показатель эластичности равен 0.6. Это означает, что при увеличении с 2 до 2.02 значение функции возрастает примерно на 0.6%. Если , то . Следовательно, увеличение с 0 до 0.01 практически не меняет значения функции.

Пример 18. .

Здесь

При показатель эластичности равен нулю. При увеличении с 1 до 1.01 значении функции практически не меняется. Если , то . Увеличение значения с 2 до 2.02 приводит к уменьшению значения функции на 4 %.

Свойства эластичности

1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. .

.

2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:

.

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле:

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле: