Линейные однородные уравнения второго порядка

[2, гл.ХШ, § 20,21, упр. 129-137].

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Ищем решение уравнения в виде тогда и, подставляя в исходное уравнение получим Так как то на него можно сократить и мы получим

Находим его корни

Корни характеристического уравнения вещественные, различные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

или

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 9)

Решаем его

Корни характеристического уравнения вещественные равные. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

или

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 9)

Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

или