Формула Тейлора функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных

Литература. [1], гл. VIII, § 16, 17, 19. упр. 47-49.

При исследовании функции двух переменных на экстремум обратите внимание на следующее:

1. Точки экстремума всегда лежат внутри области определения, а на границе могут находиться только наибольшие и наименьшие значения (см. функцию одной переменной)

2. Экстремум может достигаться в тех точках области определения, где и или равны 0 или не существуют.

Пример 1. ,

, .

График функции z – верхняя половинка конуса. В точке (0;0) производные по x и y не существуют, но

Рис. 4.

Схема исследования на нахождение наибольших и наименьших значений

1. Найти внутренние точки области, где может быть экстремум.

2. Исследовать границы области и найти там точки, где может достигаться наибольшее и наименьшее значения.

3. Вычислить значение функции во всех найденных в п.1 и 2 точках. Среди них выбрать наибольшее и наименьшее.

Покажем, как это делается.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной осью О y, прямой y =2 и параболой при .

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные равны нулю. Решив систему уравнений

найдем две точки О (0; 0) и М (1; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области.

На отрезке ОА имеем , поэтому на этом отрезке

есть возрастающая функция от одной переменной ; наибольшее и наименьшее значение она принимает на концах отрезка ОА. На отрезке АВ имеем , поэтому на этом отрезке функция

представляет собой функцию одной переменной ; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка.

Находим производную: Решаем уравнение или и находим Внутри отрезка имеется лишь одна критическая точка соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q . Итак, из всех значений функции на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках А, Q и В.

На дуге ОВ параболы имеем

.

Решаем уравнение или и находим его корни: и . Таким образом, из всех значений функции на дуге ОВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках О, Р и В.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, А, Q, В, Р, М, т.е. среди значений:

Q

Наибольшее и наименьшее из них равны 12 и -1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области: