Теорема Парсеваля. Скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов

Скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов

, . (8.99)

Доказательство:

В интеграл (8.99) подставляем

, (8.96)

.

Меняем порядок интегрирований и используем ортонормированность

(8.48)

в виде

,

тогда

,

где сделана замена .

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал «теорему Парсеваля» в 1799 г. Теорема выполняется для любого унитарного (сохраняющего скалярное произведение) преобразования – Фурье, Бесселя и других.