Теорема умножения вероятностей. Эта теорема касается совместного проявления нескольких независимых событий (происходит и то и другое)

Эта теорема касается совместного проявления нескольких независимых событий (происходит и то и другое). Событие В не зависит от события А, если вероятность этого события Р(В) не изменяется от того, произошло событие А или нет. Формулировка теоремы: вероятность совместного проявления независимых событий равна произведению их вероятностей.

Для двух событий:

Р(А и В) = Р(А) × Р(В).

Вернемся к рассматривавшемуся ранее примеру с бросанием игральной кости и поставим вопрос: какова вероятность того, что при следующих друг за другом двух бросках выпадут числа 1 и 6?

По теореме умножения вероятностей:

P(1 и 6) = Р(1) × Р(6) =

Рассмотрим другой пример. Пусть в одной урне находится 2 черных и 8 белых шаров, а в другой - 6 черных и 4 белых. Какова вероятность Р _{бел. ш.} вынуть одновременно из обоих урн белый шар? Очевидно, что Р_{бел. ш.} равна произведению вероятностей извлечения его из первой урны и из второй:

Р_{бел. ш.} = 0,8 × 0,4 = 0,32.

Теорема умножения вероятностей несколько усложняется, если рассматриваются не независимые события (как в предыдущих случаях), а связанные друг с другом. Здесь необходимо ввести условную вероятность, т. е. вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Эту условную вероятность обозначим P(A/B). Тогда:

Р(А и В) = Р(А) × Р(А/В).

Например, пусть в некоторой урне находится 3 черных шара и 7 белых. Какова вероятность того, что из этой урны последовательно один за другим будут вынуты белые шары? Вероятность извлечь вначале белый шар составляет 7/10. После его изъятия остается 6 белых шаров при общем количестве 9. Вероятность извлечь белый шар во второй раз составляет 6/9, а искомая вероятность последовательного изъятия двух белых шаров равна 42/90.