Задание 6. Найти частное решение соответствующего однородного уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям

Найти частное решение соответствующего однородного уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям , и указать вид частного решения неоднородного уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение

.

Это квадратное уравнение имеет корни k ₁ = – 1, k ₂ = 6. По теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения решение запишем в виде

.

Следовательно, .

Для нахождения частного решения однородного уравнения найдем производную и решим систему

, откуда .

Следовательно, частное решение однородного уравнения имеет вид

.

Теперь укажем вид частного решения заданного в условии неоднородного уравнения.

Правая часть уравнения – функция имеет специальный вид, что позволяет установить вид частного решения. Частное решение для такой правой части ищем в виде , где по условию ; – число корней характеристического уравнения совпадающих с числом . Так как один из корней характеристического уравнения и совпадает с числом , то частное решение ищем в виде

.