Образцы решения заданий. Задание 1.Сколько существует способов распределить три премии между десятью сотрудниками отдела: а) одинакового размера; б) разных размеров; в) одинакового

Задание 1. Сколько существует способов распределить три премии между десятью сотрудниками отдела: а) одинакового размера; б) разных размеров; в) одинакового размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза; г) разного размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза?

Решение. Каждому работнику отдела поставим в соответствие некоторый номер – 1, 2, …, 10. Тогда любая тройка номеров из этого списка соответствует одному варианту распределения премий. Условимся также премии располагать слева направо в порядке убывания, когда они различаются по размеру.

а) если премии одинакового размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1) неразличимы (они соответствуют факту награждения первых трёх сотрудников по списку). Поэтому здесь важен только состав, порядок расположения элементов в наборе роли не играет. Значит, способов распределить три премии одинакового размера столько же, сколько сочетаний «из 10 по 3», .

б) если премии разного размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2) разные (для 2-го и 3-го сотрудников). Поэтому здесь важен не только состав, но и порядок расположения элементов в наборе. Значит, способов распределить три премии разного размера столько же, сколько размещений «из 10 по 3», .

в) если премии одинакового размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) неразличимы. В обоих случаях 2 премии получил работник с № 1 и 1 премию – работник № 3. Значит, способов распределить три премии одинакового размера в этом случае столько же, сколько существует сочетаний с повторениями «из 10 по 3»,

г) если премии разного размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) различные. В первом варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 2-ю по величине, во 2-м варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 3-ю по величине. Значит, наборы представляют собой размещения с повторениями. Поэтому способов распределить три премии разного размера в столько же, сколько существует размещений с повторениями «из 10 по 3», .

Задание 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр {1,2,3,4,5,6}

а) без повторений; б) с повторениями?

Решение. а) Так как числа 123 и 321 разные, то порядок расположения внутри набора существенен. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений «из 6 по 3», .

б) Если цифры повторяются, то важен и состав, и порядок в наборе. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений с повторениями «из 6 по 3», то есть .

Задание 3. В отделении банка работают 25 человек, 10 из них мужчины. Для перевода в другое отделение банка необходимо отобрать 5 сотрудников. Какова вероятность того, что среди отобранных сотрудников три женщины?

Решение. Пусть событие A означает, что из 5 отобранных для перевода в другое отделение сотрудников три женщины. Тогда

.

Общее число n способов выбора 5 сотрудников из 25 равно числу сочетаний из 25 по 5, т.е. . Определим число m, благоприятствующих событию А исходов — «среди отобранных 5 сотрудников будут 3 женщины». Число способов выбрать 3 женщины из 15 равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х мужчин из 10. Следовательно, . Тогда

= = = = = 0,38.

Ответ:

Задание 5. В течение года три фирмы независимо друг от друга могут обанкротиться (прекратить функционирование) с вероятностями = 0,08 соответственно. Вычислить вероятность того, что в течение года будут функционировать:

а) только две фирмы;

б) хотя бы одна фирма;

в) не более одной фирмы.