Анализ мультипликативной модели

В некоторых временных рядах значение сезонной вариации - это определенная доля трендового значения, то есть сезонная вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В таких случаях используется мультипликативная модель. Для мультипликативной модели фактическое значение А = трендовое значение Т х сезонная вариация S х ошибка Е.

Пример 2. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих данных прогноз объема продаж на следующие два квартала.

Таблица 13

Квартал
Объем продаж

Числа 2-го столбца приведенной далее таблицы делим на числа 4-го столбца и результат (округляем до трех цифр после запятой) запишем в 5-й столбец.

Таблица 14

Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за четыре квартала	Централизованная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
			84,5	0,935
			85,625	1,401
		86,25	87,375	0,767
		88.5	89,75	0,880
			91,25	0,964
		91,5	91,875	1,415
		92,25	92,5	0,746
		92,75

Таблица 15

	Номер квартала в году
			0,935	1,401
	0,767	0,880	0,964	1,415
	0,746				Сумма
Среднее	0,756	0,880	0.950	1.408	3,994
Скорректированная сезонная вариация	0,757	0,881	0,952	1,410	4,000

Значения сезонной вариации - это доли. Число сезонов равно 4. Поэтому необходимо, чтобы сумма средних была равна 4. У нас же получилось 3,994. Следовательно, итоговые коэффициенты сезонности нужно умножить на множитель 4/3,994. В последней строке указаны окончательные коэффициенты сезонности.

Как показывают полученные оценки, в 1-м, 2-м и 3-м кварталах года объем продаж снижается соответственно на 24,3 %, 11,9 % и 4,8 % от соответствующих трендовых значений. В 4-м квартале года объем продаж увеличивается на 41 % от соответствующего трендового значения.

Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Проведем десезонализацию данных. Числа 2-го столбца таблицы делим на числа 3-го столбца, результат округляем до одной цифры после запятой и пишем в 4-й столбец.

Таблица 16

Номер квартала	Объем продаж А	Коэффициент сезонности S	Десезонализированный объем продаж A/S=T+E
		0,757	83,2
		0,881	84,0
		0,952	83.0
		1,41	85,1
		0,757	88,5
		0,881	89,7
		0,952	92,4
		1,41	92,2
		0.757	91,1
		0.881	93,1
		0,952	94,5

Уравнение линии тренда Т = а + bх.

Используя данные предыдущего примера, найдем коэффициенты а и b по данным первого и последнего столбцов.

Трендовое значение объема продаж = 81,6 + 1,2 х (номер квартала).

Теперь займемся расчетом ошибок.

Среднее абсолютное отклонение

среднеквадратическая ошибка

Мы видим, что ошибки малы и составляют порядка 1 %. Это позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

Таблица 17

Номер кварта-ла	Объем продаж А	Коэффициент сезонности S	Десезонализированный объем продаж A/S=T+E	Трендовое значение	Ошибка et
		0,757	83,2	82,8	0,4	0,4	0,16
		0,881	84,0		0,0	0,0	0,00
		0,952	83,0	85,2	-2,2	2,2	4,84
		1,41	85,1	86,4	-1,3	1,3	1,69
		0,757	88,5	87,6	0,9	0,9	0,81
		0,881	89,7	88,8	0,9	0,9	0,81
		0,952	92,4		2,4	2,4	5,76
		1,41	92,2	91,2	1,0	1,0	1,00
	69	0,757	91,1	92,4	-1,3	1,3	1,69
		0,881	93,1	93,6	-0,5	0,5	0,25
		0,952	94,5	94,8	-0,3	0,3	0,09
					Сумма	11,2	17,1

Дадим прогноз объема продаж на следующие два квартала. Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым данным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставляем номера кварталов в формулу и учитываем сезонную вариацию.

Прогноз объема продаж в 12-м квартале:

(81,6 + 1,2 х 12) х 1,41 = 135,4 тыс. руб.

Прогноз объема продаж в 13-м квартале:

(81,6 + 1,2 х 13) х 0,757 = 73,6 тыс. руб.