Собственные векторы и собственные значения матриц

Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран- участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.

Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х ₁, Х ₂, Х ₃, которые условно назовем США, Германия, и Кувейт. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, бюджета – на товары из Германии, оставшуюся бюджета – на товары из Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны.

Введем структурную матрицу торговли:

США Германия Кувейт

Вообще, пусть а_ij – часть госбюджета, которую j -я стана тратит на закупки товаров i -й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице.

После подведения итогов торговля за год страна под номером i получит выручку p_i = a_{i 1} X ₁ + a_{i 2} X ₂ + a_{i 3} X ₃. Например, США будут иметь выручку

доля США доля Германии доля Кувейта

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

для всех i

Предложение 1. Условием бездефицитной торговли являются равенства p = X_i, i = 1,2,3.

В матричной форме утверждение, содержащееся в предложении 1, выглядит следующим образом:

АХ = Х, (9.9)

где

Обобщая равенства (9.9) рассмотрим следующее.

Определение 10.1.Ненулевой вектор называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка n, если

(9.10)

где – некоторое число.

При этом число называется собственным значением матрицы А. Говорят так: есть собственный вектор матрицы А, принадлежащий ее собственному значению .

Пример 35. Найдем собственные векторы и собственные значения следующей матрицы порядка 2:

Положим – вектор - столбец. Тогда из соотношения (9.10) следует, что

т.е.

,

или

, (9.11)

Если вектор – собственный, то это означает, что однородная система уравнений (9.11) имеет ненулевое решение. Согласно последней теореме это условие эквивалентно тому, что определитель системы (9.11) равен нулю.

,

или . Таким образом, собственными значениями матрицы А будут числа 2 и 3.

Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим =2 и =3 в систему (9.11)

=2 =3

Однородная система уравнений тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда ееопределитель равен нулю:

Если раскрыть данный определитель, как в рассмотренном примере (9.11), то получится многочлен степени п относительно , называемый характеристическим многочленом матрицы А.

Определение 10.2. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения.

Пример 36. Найти собственные значения собственные векторы матрицы.

Запишемхарактеристическое уравнение:

или . Следовательно, – единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений для отыскания собственных векторов сводиться к единственному уравнению:

х ₁ + х ₂=0,

т.е. собственный вектор х = (– а, а, b) представляется ввиде линейной комбинации

двух линейно независимых векторов и .

Вернемся к отысканию собственного вектора X в модели международной торговли. Система уравнений для нахождения X имеет вид (9.9) т.е.

= 0.

Нетрудно найти общее решение этой системы:

поэтому в качестве собственного вектора можно взять вектор

(4; 3; 2)

В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении

X ₁: X ₂: X ₃ = 4: 3: 2

Определение. Максимальное по модулю собственное значение неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор - вектором Фробениуса для А.

Понятие собственного значения, а также понятие вектора Фробениуса неотрицательной матрицы А позволяют по- новому подойти к вопросу о продуктивности модели Леонтьева.