Теорема 9.2 (второй критерий продуктивности). Матрица А³ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна

Доказательство. Если (Е – А)^-1 существует и ³ 0, то из формулы (9.5) следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна, Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е – А) , (Е – А) ,..., (Е – А) , где е ₁, е₂,…, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) ³ 0, ³ 0,..., ³ 0, что

(Е – А) = , (Е – А) = ,..., (Е – А) = . (9.6)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с ₁, с₂, ..., с_п. Тогда вместо п равенств (9.6) можно написать одно: (Е – А) С = Е.

Следовательно, матрица (Е – А)имеет обратную С, причем С ³ 0. Теорема доказана.

Пример 32. Исследуем на продуктивность матрицу

В данном случае

Необходимые вычисления предоставим читателю провести самостоятельно. Получаем матрицу (Е – А)^-1, которая существует и равна

Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, А продуктивна.