Теорема 3. (третий критерий продуктивности). Матрица А³ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходиться бесконечный ряд

Е + А + А ² +... (9.7)

Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (сходимость ряда (9.7)) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1^*, то А продуктивна. Действительно, пусть q - наибольшая из указанных сумм, q <1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А ² не превосходит q ²:

( A ²)_ij = a_{i 1} a _jl + a_{i 2} a_{j 2} +...+ a_ina_nj £ q (a_{i 1} +...+ a_nj) < q ² <1.

Точно так же получим, что элементы матрицы А ³ не превосходит q ³ и т.д. Отсюда следует сходимость ряда (9.7), а значит, и продуктивность матрицы А.

Напримердля матрицы

сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.

Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица А ^т,что следует из теоремы 2.

Пусть А 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число , что все матрицы , где 1< <1 + , продуктивны, а матрица (1 + ) А – не продуктивна.

Пример 33. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 30.

Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (Е – А)^-1). В данном случае

Определитель этой матрицы

.

Обратной матрицей будет

.

Для продуктивности нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны, т.е. , , . Имеем при , . Отсюда матрица продуктивной при , т.е. . Запас продуктивности матрицы А равен 0,015.