Определение параметров предельных циклов (ПЦ) и оценка устойчивости положения равновесия нелинейных систем методом гармонической линеаризации в форме Е. П. Попова

Задача состоит в нахождении амплитуды A и частоты ω входного сигнала НЭ, при которых в системе имеет место автоколебательный режим, т.е. незатухающие колебания с постоянной амплитудой, возникающие после снятия входного воздействия.

Запишем уравнение гармонического баланса, для простоты рассмотрим статический НЭ.

(1)

Значения амплитуды и частоты, удовлетворяющие уравнению гармонического баланса, определяют параметры синусоиды на входе НЭ, при которых возникают автоколебания.

Перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

(3)

Вообще ПФ ЛЧ и НЭ могут быть записаны в виде:

Перейдем от ПФ к ЧПФ (p → j ω):

Следовательно

Вернемся к уравнению (3):

Очевидно

Чтобы найти параметры периодического движения, надо решить указанную систему нелинейных уравнений:

Большинство НЭ – однозначные. Если НЭ однозначная нелинейность, то b (A)=0 и уравнение преобразуется к виду:

Выразим g (A) из уравнения (2):

Подставим его в уравнение (1):

Отсюда находим ω=ω_П и подставим в выражение для g (A):

– число.

Находим A = A _П.

Если существует решение, то автоколебательный режим есть и A _П, ω_П – решения уравнения.

– условие устойчивости ПЦ (без доказательства), где – соответствующая частная производная, вычисляемая при конкретных значениях ω=ω_П и A = A _П.

Метод фазового пространства (метод фазовых траекторий)

Метод позволяет судить о поведении системы в свободном состоянии, т.е. после снятия воздействия, выведшего ее из состояния покоя. Данный метод используют в качестве математической модели уравнения пространства состояний.

где x ₁, x ₂ – фазовые переменные, они же переменные состояния, они же степени свободы системы.

При n =2 – метод фазовой плоскости (2 ДУ), если n =3 – метод фазового пространства (3 ДУ).

Исходное решение системы уравнений в каждый момент времени имеет вид:

где – начальные условия.

Фазовая траектория – проекция графика решения системы ДУ на фазовую плоскость (время исключено). Говорят, что эта кривая задана параметрически (t – параметр).

Фазовая траектория соответствует определенным НУ: .

Фазовый портрет – совокупность фазовых траекторий, построенных для различных НУ.

На фазовых траекториях обязательно указывается направление движения.

Фазовая галерея – совокупность фазовых портретов, построенных при различных значениях параметров системы.

Если у нас фазовая плоскость, т.е. двумерный вид, то:

Если мы исключаем t в явном виде, т.е. переходим к производной dx ₂/ dx ₁, то система сводится к одному уровню:

Обычно используют канонические координаты, когда , тогда уравнения в канонической форме имеют вид: