Метод изоклин для построения фазовых портретов нелинейных (линейных) САУ

Недостаток метода непосредственного интегрирования в сложности интегрирования нелинейностей, поэтому фазовые портреты нелинейных САУ на плоскости строят так называемым методом графического интегрирования – методом изоклин.

Определение: Изоклина – кривая, представляющая собой геометрическое место точек равного наклона фаз траекторий.

Т.о. уравнение изоклины: tgφ=const или , N =const.

Угол наклона фазовой траектории – угол наклона ее касательной к положительному направлению оси абсцисс 0X.

Методика построения фазового портрета с помощью метода изоклин

Предположим, что исходное ДУ 2-го порядка не разрешено (или разрешено) относительно старшей производной:

или

Тогда методика следующая:

1) Вводим переменные состояния (канонические координаты) т.о., чтобы получить модель в виде уравнений состояния:

2) Избавляемся от времени t в явном виде:

3) Выписываем уравнение изоклины:

α – угол наклона изоклины к оси абсцисс.

4) Разрешаем уравнение (*) относительно переменной x ₂:

5) Зададим угол наклона α₁ (число), вычислим N ₁=tgα₁. Получим кривую зависимости x ₂ от x ₁, соответствующую изоклине, обеспечивающей наклон траекторий α₁:

6) Зададимся последовательностью углового наклона α₁<α₂<α₃<α₄ … и построим сетку изоклин:

7) Построим фазовую траекторию следующим образом: выберем (∙) M ₁ на изоклине и под углом проведем отрезок прямой до пересечения со второй изоклиной (пусть точка пересечения – (∙) M ₂). Из (∙) M ₂ под углом проведем отрезок прямой до пересечения с третьей изоклиной (в (∙) M ₃) и т.д.

Построенная ломаная линия является приближенной к фазовой траектории.