III семестр

Гармонически линеаризованная ПФ нелинейного элемента (ГЛПФНЭ)

Основная особенность выходного сигнала НЭ – периодичность в случае синусоиды на входе. Известно, что любой периодический сигнал можно разложить в тригонометрический ряд.

где y – периодический сигнал; представляя его в виде разложения в тригонометрический ряд, получим:

где A ₀… A _n, B ₀… B _n – коэффициенты, A ₂cos2ψ и остальными слагаемыми более высокого порядка малости пренебрегаем, т.к. в методе гармонической линеаризации рассматривается только прохождение основной гармоники через систему.

Будем считать НЭ нечетно симметричным, тогда A ₀=0 =>

вход НЭ: выход НЭ:

Попытаемся определить ГЛПФНЭ W _H(p, …?)= y / x.

Тогда

где p = d / dt.

(*)

где – коэффициенты гармонической линеаризации.

Формула (*) – ГЛПФНЭ. Как видно из формулы (*), ГЛПФНЭ в случае статической нелинейности y = F (x) зависит от амплитуды A входного сигнала x. Если нелинейность динамическая, например, как в маятнике

т.е. при математической модели типа нелинейного ДУ ГЛПФНЭ зависит и от частоты ω входного сигнала x:

Аналогично теории линейных САУ введем ЧГЛПФНЭ (частотную), заменив p = j ω.

ЧПФНЭ:

Модуль ЧПФНЭ:

Фаза ЧПФНЭ:

Физический смысл модуля и фазы ЧПФНЭ

Модуль ЧПФНЭ показывает, во сколько раз амплитуда 1-ой гармоники на выходе НЭ отличается от синусоиды на входе.

Фаза ЧПФНЭ показывает сдвиг фаз входа x относительно выхода y.

Как правило, ПФ берется по 1-ой гармонике НЭ, кроме случая псевдолинейных элементов, и не зависит от частоты ω.

Однако, если НЭ – нечетно симметричная петлевая характеристика (гистерезис), то пределы интегрирования можно сократить в 2 раза (от 0 до π). Если НЭ представляет собой однозначную нелинейность (одному значению аргумента соответствует одно значение функции), то b (A)=0. Если же F (x) – однозначная нечетно симметричная, то

В теории и практике рассматривается характеристика:

W _H(A / a), g (A / a), b (A / a), где a – параметр НЭ, а также, кроме ПФ или АФЧХ НЭ часто рассматривается обратная величина Z:

Пример: Вычислить коэффициенты гармонической линеаризации для НЭ типа трехпозиционного реле.

Входной сигнал: x =sin t (A =1; ω=1), F(x) – однозначная нечетно симметричная =>