Зависимость фазового портрета линейной САУ от вида корней характеристического уравнения

Пусть система 2-го порядка свободная (n =2, u_i ≡0):

Можно показать, что неособенным линейным преобразованием ее можно привести к диагональной форме:

где λ₁, λ₂ – корни ХП.

где I ₂ – единичная матрица размерности 2×2.

В зависимости от вида корней λ₁, λ₂ фазовые портреты различаются следующим образом:

1) λ₁, λ₂ – вещественные корни, λ _i =α _i (β _i =0).

1а) λ₁>0, λ₂>0 – корни одного знака.

λ₁= –α₁, λ₂= –α₂ (α _i >0).

Данная комбинация корней дает фазовый портрет типа «узел» (устойчивый).

λ₁= α₁, λ₂= α₂ (α _i >0).

Данная комбинация корней дает фазовый портрет типа «узел» (неустойчивый).

1б) λ₁∙λ2<0 – корни разных знаков.

Предположим, что λ₁= –α₁, λ₂= α₂ (α _i >0).

с ₁ и с ₂ – начальные условия (НУ), т.к. при t =0 y_i = c_i.

Данная комбинация корней дает фазовый портрет типа «седло».

2) Случай 2-х комплексных корней

2а) 2 комплексно сопряженных корня:

2 комплексных корня с отрицательной вещественной частью:

Данная комбинация корней дает фазовый портрет типа устойчивый «фокус» (эллиптическая траектория, с каждым витком приближающаяся к началу координат).

2 комплексных корня с положительной вещественной частью:

Данная комбинация корней дает фазовый портрет типа неустойчивый «фокус» (эллиптическая траектория, с каждым витком отдаляющаяся от начала координат).

2б) 2 чисто мнимых комплексных корня:

Пример чисто мнимого корня – консервативное звено:

Данная комбинация корней дает фазовый портрет типа «центр».