Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях

Для вычисления следует:

1) проверить справедливость неравенства . Обычно бывает достаточно выполнения условий:

а) n > 100,

б) n·p·q > 20;

2) вычислить х_k формуле:

3) по таблице значений гауссовой функции вычислить

4) предыдущий результат разделить на

Вероятность того, что число «успехов» k и n испытаниях Бернулли находится в пределах от k ₁ до k ₂, обозначают так:

.

Для вычисления вероятностей снова используют гауссову функцию . При этом, если р, q > 0,01, а n велико настолько, что

,

(как правило, это условие выполняется при n > 40), то для отыскания вероятности события используют интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Для удобства вычислений вводят некоторую дополнительную функцию Ф (х). Для этой функции составлены таблицы значений, а связана она с следующим образом.

Если аргумент х положителен, то Ф (х) равна площади под гауссовой кривой на отрезке от [0; 1]. Аналитически Ф (х) записывается с использованием интеграла, именно поэтому полученная в итоге формула называется интегральной. Запись сложна, но ее следует запомнить хотя бы приблизительно.

.

Следует учитывать, что

1) функция Ф (х) нечетна, т.е. Ф (- х) = - Ф (х), а график функции симметричен относительно начала координат;

2) Ф (х) 0,5 при х > 5, поэтому в большинстве таблиц значения функции Ф (х) приведены только для аргумента ;

3) наконец, Ф (0) = 0.

Ясно также, что эта функция возрастает на всей области ее определения. Функция Ф (х) называется функцией Лапласа.

Теорема 3. В условиях локальной формулы Муавра – Лапласа приближенное значение вероятности того, что число успехов k заключено между k ₁ и k ₂, можно найти по интегральной формуле Муавра – Лапласа:

= Ф(х ₂) – Ф(х ₁),

где

,

.