Треугольник Паскаля

Для чисел имеется красивый и удобный способ из записи в виде треугольной таблицы. Эту таблицу называют треугольником Паскаля.

С

…

…

…

…

…

…

Получается бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами.

1). Все они целые положительные числа.

2). Крайние коэффициенты равны единице.

3). Коэффициенты возрастают от краев к середине.

4). Сумма всех коэффициентов равна 2 ⁿ. Это следует из формулы бинома, если в ней положить, что a = b = 1.

5). Сумма биномиальных коэффициентов на четных местах равна сумме коэффициентов на нечетных местах.

6). Если a заменить на -a, то знаки перед биномиальными коэффициентами будут чередоваться.

7). В разложении бинома содержится на один член больше, чем его степень.

8). Разложение есть однородный многочлен, то есть все члены имеют одну и ту же степень относительно a и b;

9). Правило симметрии: для всех m = 0, 1, …, n (записывается: )

Правило симметрии удобно использовать в расчетах количества сочетаний , если m превышает половину объема исходного множества, т.е. m >

10). Из свойств (7) и (9) следует, что если показатель бинома четный, то в разложении средний член имеет наибольший коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.

Особенно важное значение имеет следующее свойство.

11). Правило Паскаля или рекуррентное свойство числа сочетаний:

Основная закономерность образования строк состоит в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке (5 = 1 + 4; 10 = 4 + 6; 6 = 3 = 3 и т.д.). Или то же в строгой формулировке: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении

(а + b) ^{n +1}.