Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел

Задача 1Д-Т11. Найдите значения n, p, q, k и выпишите (без вычислений) формулы для

а) вероятность появления ровно 7 Орлов при десяти бросаниях монеты;

б) вероятность появления ровно 3 Решек при 10 бросаниях монеты;

в) вероятность появления ровно 57 нечетных цифр при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9;

г) вероятность появления ровно 75 цифр, кратных трем, при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9.

Задача 2Д-Т11. Найдите значения n, p, q, k и выпишите (без вычислений) формулы для

а) каждый из 50 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачным» днем считается понедельник. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?

б) каждый из 100 человек независимо называет один из дней недели. «Удачными» днями считаются суббота и воскресенье. Какова вероятность того, что «неудач» будет 33?

в) бросание кубика «удачно», если выпадет 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 будут «удачными»?

г) одновременно бросаются три различные монеты. «Неудача» - Решек больше, чем Орлов. Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» в тысяче бросаний?

Задача 3Д-Т11. По таблице значений функции найдите:

а) (1), (2), (3);

б) (0,5), (1,5), (2,5);

в) (0,1), (1,1), (2,1);

г) (0,9), (0,99), (1,99).

Задача 4Д-Т11. Используя таблицы значений функции , найдите приближенное значение х, если известно, что:

а) =0,1781;

б) =0,1006;

в) = 0,3988;

г) = 0,0116.

Задача 5Д-Т11. Найдите х > 0, для которого значение ближе всего к заданному числу:

а) 0,33;

б) 0,333;

в) 0,1;

г) 0,01.

Задача 6Д-Т11. По таблице значений функции Ф найдите:

а) Ф(1), Ф(2), Ф(3);

б) Ф(0,5), Ф(1,5), Ф(2,5);

в) Ф(0,1), Ф(1,1), Ф(2,1);

г) Ф(0,9), Ф(0,99), Ф(1,99).

Задача 7Д-Т11. Используя таблицу значений функции Ф, найдите приближенное значение х, если известно, что:

а) Ф(х) = 0,3461;

б) Ф(х) = 0,4441;

в) Ф(х) = 0,004;

г) Ф(х) = 0,4904.

Задача 8Д-Т11. Найдите х, для которого значение Ф(х) ближе всего к заданному числу:

а) 0,33;

б) 0,46;

в) 0,1;

г) 0,49.

Задача 9Д-Т11. Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найдите вероятность того, что среди 900 новорожденных будет:

а) от 400 до 500 мальчиков;

б) не менее 440 мальчиков;

в) от 430 до 470 девочек;

г) не более 460 девочек.

Задача 10Д-Т11. Известно, что из всех поступающих в университет абитуриентов в среднем 60% набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали:

а) от 50 до 70 человек? б) не менее 20 человек? в) не более 60 человек? г) более 69 человек?

Задача 11Д-Т11. Известно, что левши составляют в среднем 1% населения. Используя формулы Бернулли, Пуассона и локальную формулу Муавра – Лапласа, найти вероятность того, что среди наугад выбранных 100 человек окажется пятеро левшей.

Задача 12Д-Т11. Предположим, что при наборе книги существует вероятность того, что любая буква может быть набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью . После корректора – автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью . Найти вероятность того, что в книге со ста тысячами печатных знаков останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.

Вопросы для самоконтроля

Приведите геометрическую иллюстрацию неравенства Чебышева.

В чем смысл теоремы Чебышева?

Использование интегральной теоремы Муавра-Лапласа для доказательства теоремы Бернулли.

Как вы понимаете сходимость по вероятности?

Теорема Пуассона и ее применение в теории измерений.

Что вы понимаете под законом больших чисел?

Обобщение теоремы Чебышева.

Проведите эксперимент для иллюстрации закона больших чисел.

Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)

Сочетания - при , т.е. числа …, используются в формуле бинома Ньютона. Их достаточно часто называют биномиальными коэффициентами, поскольку они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона. В школе каждый заучивал формулы квадрата, куба и других степеней суммы двух чисел:

(a + b)² = a ² + 2ab + b ²,

(a + b)³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³.

Определение. Формула для произвольной степени суммы двух слагаемых выглядит так:

Эту формулу обычно называют формулой бинома Ньютона. Слово «бином» означает «двучлен», а коэффициенты в разложении называются, как мы уже знаем, биномиальными коэффициентами.