Упражнения с решениями. Пример 1. Найти длину вектора по заданным координатам его концов ,

Пример 1. Найти длину вектора по заданным координатам его концов , .

Решение: Находим координаты вектора : , а теперь найдем модуль этого вектора: .

Пример 2. Даны векторы , и . Определить длину вектора .

Решение: Найдем координаты вектора . Итак, .

Пример 3. Найти косинус угла между векторами и .

Решение: Из определения скалярного произведения следует, что . По координатам векторов находим: , ; , поэтому .

Пример 4. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора лежащие на диагоналях данного четырёхугольника. Имеем:

Проверим, ортогональны ли эти вектора. Для этого найдём их скалярное произведение:

Отсюда следует, что вектора, лежащие на диагоналях четырёхугольника ортогональны, а значит, диагонали взаимно перпендикулярны и данный четырёхугольник является параллелограммом