Модели авторегрессии-скользящего среднего

Общий вид модели АРСС(k, т):

где a ₁,..., a_k, b ₁,..., b_m – коэфф-ты модели; k – порядок авторегрессии; т – порядок скользящего среднего. Модель (6.87) м. б. преобразована либо в модель авторегрессии АР(k)

где ошибка x_t удовлетворяет свойствам процесса скользящего среднего порядка т; либо в модель скользящего среднего – СС(т) путем выражения переменных у_t–i через линейные комбинации ошибок.

и дальнейшего приведения подобных членов после раскрытия скобок. Для этих модификаций модели (6.87) рассмотрим св-ва ее автокорреляционной функции и подходы к оценке ее параметров. При сдвигах, превышающих по своей величине порядок скользящего среднего т, т. е. при i > т, коэфф-ты автоковариации модели АРСС(k, т), определяемой (6.87), не зависят от ошибок модели. В самом деле,

Если i > т, то в силу свойств белого шума все МО произведений ошибок e_t–j и e_t–i–j , j < т, равны нулю, т.е. M [ e_{t-j ;} e_t-i-j ]=0, i = т +1, т +2,...; j =1, 2,..., т. В этом сл. значения коэфф-ов автоковариации модели АРСС(k, т) удовлетворяют свойствам этих коэфф-ов, характерным для модели авторегрессии k -го порядка АР(k):

Из (6.91) вытекает, что неизвестные значения коэфф-ов a ₁,..., a_k в этом сл. м. б. оценены из модификации с-мы ур-й Юла-Уокера, имеющей в данном сл. следующий вид:

где r_i = r_–i и r ₀º1. С использованием найденных из (6.92) значений оценок коэфф-ов a ₁,..., a_k на основании (6.88) сформируем процесс СС(т)

где u_t – фактическая ошибка, являющаяся оценкой ошибки x_t. Значения ошибки u_t получают путем подстановки в (6.88) вместо неизвестных параметров a ₁,..., a_k их оценок a ₁,..., a_k, определенных из (6.92). e_t – фактическая ошибка, значение которой используется вместо истинной ошибки e_t при оценке коэфф-ов скользящего среднего. Для определения оценок b ₁,..., b_m коэфф-ов скользящего среднего применяются нелинейные методы оценивания, предполагающие решение системы нелинейных уравнений типа (6.75).

Рассмотрим АРСС(1,1).

Для определения дисперсии этой модели умножим под знаком МО левую и правую части выражения (6.94) на у_t. Получим

При выводе (6.95) учтено, что в силу свойств процесса “белого шума” e_t . Далее, умножив под знаком МО левую и правую части выражения (6.94) на e_{t– 1}, получим

поскольку Аналогично, первый коэфф. автоковариации процесса у_t получим, умножив под знаком МО левую и правую части (6.94) на у_{t– 1}. С учетом того, что и в силу свойств белого шума e_t, получим, что

Из (6.95)–(6.97): дисперсия s_у ²процесса у_t, описываемого моделью АРСС(1,1), его 1-ый коэфф-т автоковариации g ₁ и дисперсия ошибки e_t связаны соотношениями:

а коэфф-ты автоковариаций более высоких порядков (как следует из (6.91) и (6.92)) – соотношениями вида:

Из (6.98) получим выражение, определяющее значение первого коэфф. автокорреляции процесса АРСС(1,1)

Значения коэфф-ов автокорреляции более высоких порядков связаны соотношением аналогичным (6.99)

Т. о., значения коэфф-ов автокорреляции модели АРСС(1,1) подчиняется экспоненциальному закону

где

Вопрос 11. Корреляционно-дисперсионный анализ переменных, выраженными количественными и качественными показателями.