Вопрос 7. Модели одномерных временных рядов с сезонной и циклической составляющей. Методы построения и прогнозирования

Широкий круг социально-экономических, технических и естественнонаучных процессов часто представляется набором последовательных значений показателя у ₁, у ₂,..., у_t,..., у_Т, зафиксированных в равноотстоящие друг от друга моменты времени t =1,2,... Т, так что интервал (t, t +1) является постоянным. Этот набор значений у_t, t =1,2,... обычно называется временным рядом (временной серией). Такой ряд представляет собой дискретный временной процесс.

Изменения значений у_t во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием каких-либо причин, факторов. Однако в силу их многочисленности, сложности измерения, неразработанности теоретических предположений относительно взаимосвязей с переменной у и т. п. обосновать и построить “подходящую” для описания процесса у_t, t =1,2,... многофакторную эконометрическую модель классического типа не всегда представляется возможным. В результате в отношении ряда у_t часто выдвигается предположение, что совокупное влияние этих факторов формирует как бы внутренние закономерности в развитии процесса у_t, что дает возможность применить для его описания эконометрическую модель из специфического класса моделей временных рядов.

Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики значительного числа реальных процессов различной природы. Они часто используются в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах, в радиотехнике, анализе химических процессов, моделировании природных событий: динамики числа солнечных пятен, природных катастроф и многих других процессов.

Самое широкое применение модели временных рядов нашли в исследованиях финансовых рынков, в анализе динамики финансовых показателей, прогнозировании цен на различные товары, курсов акций, соотношений курсов валют и т. п.

Пожалуй, общим для всех моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение процесса y_t в значительной степени предопределено его предысторией, т. е. величина показателя y_t генерируется значениями y_{t– 1}, y_{t– 2},... согласно характерным для этого временного ряда закономерностям. Математически это допущение может быть выражено следующим общим уравнением:

где, как и ранее, e_t представляет собой ошибку модели в момент t.

Характерной особенностью некоторых социально-экономических процессов, представленных временными рядами, является ярко выраженная периодичность.

При этом, если период колебаний насчитывается несколько лет, то такие периодические колебания принято называть циклическими. Например, могут иметь место экономические циклы, включающие в себя рост, спад, свертывание и затем оживление экономической деятельности.

Регулярные же колебания в течение года называются сезонными. Например, интенсивность транспортных поездок (особенно на длинные расстояния) резко возрастает в летние месяцы и снижается в межсезонные периоды. Интенсивность посещений зрелищных мероприятий значительно выше в зимний период, когда большинство населения находится дома, и падает в летнее время, когда люди, как правило, находятся в отпусках.

Сезонная периодичность характерна и для курсов валют. В РФ спрос на валюту (и соответственно ее цена) обычно растет к концу года, когда подходят сроки платежей, и снижается в летний период, когда деловая активность падает.

Сезонные колебания часто сочетаются с более общей тенденцией процесса, характеризующейся, например, ростом среднегодовых (среднеквартальных и т. п.) его значений. В такой ситуации иногда рекомендуется общую модель процесса представить в виде трех составляющих: “тренда”, выражающего общую тенденцию; “сезонной компоненты”, описывающей сезонные колебания вокруг этого тренда, и “случайной компоненты”, традиционно выражающей свойства ошибки. Однако такой подход к формированию общей модели, как правило, не является экономичным, в том смысле, что эта модель может содержать слишком много параметров, которые оцениваются с большой ошибкой. Особенно это относится к параметрам трендовых моделей, ошибки оценок которых обусловлены значительными отклонениями реальных данных от трендов именно из-за наличия сезонных эффектов. Вследствие этого такая модель может не обладать достаточной точностью. Кроме того, наличие тренда во временном ряду может быть вызвано какими-либо систематическими эффектами. Например, ежегодный рост туристических поездок – увеличением доходов населения. В данном случае в модели может появиться систематическая ошибка, обусловленная недостаточной точностью аппроксимации временным трендом тенденции роста дохода.

Большое число параметров характерно и для моделей, описывающих “собственно” сезонные колебания. Обычно такая модель представляется в виде набора синусоид и косинусоид

где g ₀, g _{1 j} и g _{2 j} – коэффициенты модели; s – общий период колебания,

1/2 s – для четных s;

[s/2]= 1/2 (s –1) – для четных s;

индексы j и t определяют фазу колебательного процесса.

Временной ряд, содержащий сезонную компоненту можно представить как аддитивную или мультипликативную модель:

- аддитивная модель

- мультипликативная модель

Здесь S – сезонная компонента, Т – трендовая составляющая.

Выбор вида модели зависит от характера периодических колебания. Если амплитуда постоянна во времени, то применяется аддитивная модель. Если же амплитуда колебаний изменяется, то рассматривается мультипликативная модель.

В аддитивной модели компоненты ряда выражены в тех же единицах, что и рассматриваемый в динамике признак. При мультипликативной модели периодическая и случайная компоненты выражены в относительных величинах. Так, при сезонных колебаниях S – это индекс сезонности.

При наличии тенденции в ряду динамики уровни ряда характеризуются автокорреляцией, т.е. каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего.