Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем и отрезок точками на n частей .

Определение. Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма вида , где , .

Если , то геометрически представляет собой сумму площадей прямоугольников, имеющих основания и высоты .

Определение. Если функция такова, что существует конечный предел интегральных сумм при условии, что ранг разбиения , , стремится к нулю, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на отрезки , ни от выбора точек на этих отрезках, то функция называется интегрируемой на отрезке , а сам предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,

= (20.1)

Отметим, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла.

Пусть функции и интегрируемы на . Тогда выполнено:

1) = ,

2) Аддитивность: = для

3) Линейность: ,

для любой константы .

4) Интегрирование неравенств:

Если функции интегрируемы на отрезке и для верно неравенство , то .

5) Функция интегрируема на и ,

6) Формула Ньютона-Лейбница. Если функция непрерывна на , то для любой ее первообразной имеет место формула:

= .

Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла схожи с аналогичными формулами для неопределенного интеграла.