Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение

Определение. Функция называется дифференцируемой, если во всех точках данного множества имеет производную.

Определение. Пусть функция определена на некотором множестве , и . Назовём точку точкой максимума функции на множестве , если при всех выполняется неравенство , и точкой минимума, если при всех выполняется неравенство . Точка , являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

Теорема 17.1. (Ферма) Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.

Замечание. Заметим, что условие означает, что тангенс угла наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0.

Рис.17.1. Поведение функции в окрестности точки экстремума

Геометрический смысл. Касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).

Теорема 17.2. (Ролля) Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Замечание. Теорему можно переформулировать так: между двумя корнями и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной (то есть точка , такая что ).

Геометрический смысл. Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально.

Рис.17.2.

Теорема Ролля не утверждает, что корень - единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.

Теорема 17.3. (Лагранжа) Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

Геометрический смысл. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и --это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.17.3.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной () будет равен углу наклона хорды ().