Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функции на некотором промежутке, если непрерывна и дифференцируема на этом промежутке и = .

Определение. Если и - две первообразные функции , то - = с, где с=const. Таким образом, если - первообразная функции , то множество { + с, с } является совокупностью всех первообразных функции . Эта совокупность называется неопределенным интегралом функции и обозначается .

Из определения непосредственно следует линейность неопределенного интеграла: если функции , имеют первообразные на некотором промежутке, то + и c (с=const) также имеют первообразные, причем

, .

Приведем таблицу основных формул для неопределенных интегралов (каждая из формул верна на области определения подынтегральной функции и проверяется непосредственно дифференцированием).

, ,

, >0, 1, ,

, ,

, ,

, 0, , 0,

, 0, , 0.

Приведем далее основные правила дифференцирования.

Пусть на некотором промежутке определена сложная функция , где функция непрерывна и дифференцируема.

Тогда если существует интеграл , то существует

интеграл , и

= . (19.1) Формула (19.1) называется формулой интегрирования с помощью замены переменной.